非線形波動方程式の解の存在と非存在

2020 年度 研究成果報告書

• 研究課題/領域番号: 16K05191
• 研究種目: 基盤研究(C)
• 配分区分: 基金
• 応募区分: 一般
• 研究分野: 解析学基礎
• 研究機関: 埼玉大学
• 研究代表者: 町原 秀二 埼玉大学, 理工学研究科, 教授 (20346373)
• 研究期間 (年度): 2016-04-01 – 2021-03-31
• キーワード: 初期値問題適切性 / 初期値問題非適切性 / ノルムインフレーション

研究成果の概要

Dirac-Klein-Gordon方程式、Thirring モデルの非線形Dirac方程式、Chern-Simons-Dirac方程式の初期値問題の適切性と非適切性に関する結果を得て、複数の論文を発表できた。特に空間一次元Dirac-Klein-Gordon方程式の湯川の相互作用項をもつタイプのものは1973年Chadam氏の最初の論文からの歴史のある問題で、それに対する最終決着を与えたものである。
方程式の初期値問題の他に関数空間の不等式に対する研究を行った。ハーディの不等式、トレース定理、レリッヒの不等式に対する新しい知見を与えた。

自由記述の分野

非線形分散型・双曲型偏微分方程式

研究成果の学術的意義や社会的意義

偏微分方程式を研究対象としたときに解の存在定理がその重要性を持つことは明らかであろう。この研究期間中に行った研究主題は非線形分散型・双曲型偏微分方程式の初期値問題の適切性となる。つまり非線形項を含む形の偏微分方程式を考え、初期値から解を求めるという初期値問題を取り扱った。そして適切性とは解の存在を含み、そこへ加えて解の一意性と初期値への連続依存性を要求した性質となる。これら三つの条件を満たすとき初期値問題は適切であるといい、一つでも欠如した場合は初期値問題は非適切であるという。問題が適切であるか非適切であるかは解を扱う関数空間の正則度に依存する。正則度による場合分けが完成すれば問題は終了する。