| 研究課題/領域番号 |
16K05203
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| 研究機関 | 大阪教育大学 |
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研究代表者 |
貞末 岳 大阪教育大学, 教育学部, 准教授 (40324884)
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| 研究分担者 |
中井 英一 茨城大学, 理学部, 教授 (60259900)
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| 研究期間 (年度) |
2016-04-01 – 2019-03-31
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| キーワード | マルティンゲール / 一般化分数べき作用素 / Morrey 空間 |
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| 研究実績の概要 |
近年、実解析学においては関数空間の理論が急速に進展している。そこで本研究ではこれらの理論をマルティンゲール空間へ拡張し、マルティンゲール理論を進展させることを目指している。この主題に沿って、平成２９年度においては次のような結果を得ている。
１．前年度からの研究を完成させ、離散パラメータ一般のマルティンゲールについて最大作用素の BMO-BLO 有界性の研究に関する論文を雑誌 Tohoku mathematical journal に出版した。
２．前年度からの研究を完成させ、atomic なフィルトレーションを持つマルティンゲールに対する一般化分数べき積分作用素のマルティンゲール Morrey 空間での有界性に関する論文を雑誌 Mathematical Inequalities & Applications に出版した。
３．離散パラメータ一般のマルティンゲールについて、Besov 空間および Triebel-Lozorkin 空間の定義を与え、その双対、複素補間、平均振動型ノルムとの同値性を示した。さらに atomic なフィルトレーションを持つ場合に分数べき積分作用素の有界性を調べ、これが従来の研究の拡張になっていることを確認した。そしてこのことを雑誌 Scientiae Mathematicae Japonicae に投稿し、受理された。
４．atomic なフィルトレーションを持つマルティンゲールに対して、その分数べき積分作用素と乗法作用素との交換子のマルティンゲール Morrey 空間上での有界性を、３で得られたことと関連付けて調べ、Campanato 型マルティンゲールの特徴づけを得た。そしてこのことを 2018 年 3 月の日本数学会で発表した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
当初計画では平成３０年度に予定していた一般化分数べき積分作用素のマルティンゲール Morrey 空間での有界性に関する必要十分条件の研究が、atomic なフィルトレーションの場合に完成し、論文を出版した。そして、この研究の過程で得た「マルティンゲール Besov-Triebel-Lozorkin 空間」の着想が進展し、一般のフィルトレーションの場合にその双対、複素補間、平均振動型ノルムとの同値性などの基本性質を示すことができ、論文としてまとめたものが Sciantiae Mathematicae Japonicae 誌に受理された。さらに分数べき積分作用素と乗法作用素との交換子のマルティンゲール Morrey 空間上での有界性を、２で得られたことと関連付けて調べ、Campanato 型マルティンゲールの特徴づけを得た。また、離散パラメータ一般のマルティンゲールについて最大作用素の BMO-BLO 有界性の研究の論文を出版した。
上で述べたマルティンゲール Besov-Triebel-Lozorkin 空間や分数べき積分作用素と乗法作用素との交換子および最大作用素の BMO-BLO 有界性の研究は当初計画になかったものである。そのため当初計画で予定していたマルティンゲール Morrey-Hardy 空間の複素補間、Herz 型不等式、Feferman-Garsia 不等式、Osekowski の最良不等式の研究を進展させることができなかった。
以上をまとめると、本年度までに予定していた研究のいくつかには遅れがみられる一方で、平成３０年度に予定していた研究の１つが完成し、さらに当初計画にはなかった研究が３つほど大きく進展している。以上からおおむね順調に進展していると考えている。
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| 今後の研究の推進方策 |
代表者の貞末は、引き続き分担者の中井の助力を得て研究を進める。そのため勤務先の大学を相互に訪問するなど連絡を緊密にする。
ここまでで当初研究目的 (3) の進展が大きいため、このことを実用に適した形での深化を優先して行う。具体的には連続パラメータのマルティンゲールに対して一般化分数べき作用素の理論を展開することを目指す。また、当初研究目的 (1), (2) に関するものとしてバナッハ関数空間の枠組みでマルティンゲール空間の複素補間空間の研究を行うこととし、当初研究計画のマルティンゲール Morrey-Hardy 空間の複素補間空間の同定をこの形で行うこととする。なお複素補間空間の研究を優先させることから、バナッハ関数空間でのマルティンゲール不等式のうちいくつかは行わないものとする。
そして当初研究計画にある Bellman 関数法の改良についても、先に述べた連続パラメータのマルティンゲールに対する一般化分数べき作用素の理論と関連して行う予定である。
ただ、この達成が難しい場合は一般化分数べき作用素の理論や複素補間空間の研究を重み付き空間へ拡張することを考えている。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
（理由）
平成２９年１０月に、平成３０年度における研究集会（実解析学シンポジウム）の開催責任者に加わった。このため平成３０年度に必要な資金が増加することが見込まれ、その金額を繰り越すこととした。
（使用計画）
研究集会（実解析学シンポジウム）開催の会場費・人件費として使用する。
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