| 研究実績の概要 |
特異的あるいは極端形状をもつ領域における楕円型作用素の解析を行った. このテーマにそっていくつかの懸案の課題で成果があがった. 1. 等方的な弾性体の固有値問題について漸近挙動を解析した. 極限において線分に収縮する一般の非一様な細いの曲げモードに対応する固有値はゼロに収束する (εの2乗オーダー) が, これをεの2乗で割った量が, ある複雑な４階常微分作用素の固有値に収束することを証明した. この公式のさらなる一般化の方向も見いだした。また, 軸に関して回転対称な細い弾性体の場合について"ねじれモード", "収縮拡張モード", 等のゼロに収束しない固有値の漸近挙動を解析した. これによって代表的な振動モードを調べたことになる。それ以外の振動モードが存在しないことも示したい。2. 非一様な細い管状領域におけるストークス作用素の固有値問題を解析した. 同じ領域における弾性体のラメ作用素の場合と類似のスペクトル構造が見られた. ただし証明はできていないのでこれらは今後の課題となる. 3. 弾性係数が複合構造をもつ領域上のラメ作用素の固有値を構造を調べた. 一部領域で剛性率が退化する場合には局所的にストークス作用素がスペクトルの記述に活躍することがわかった. 4. 定数係数のラメ作用素およびストークス作用素による斉次方程式の多項式解の構造を調べた. 5. Y字型グラフ上のスカラーの反応拡散方程式の非自明な時間全域解を構成した. また, その過程においてネットワーク上の基本解も調べた.
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