| 研究実績の概要 |
粘菌集合体形成の数理モデルは,Keller-Segel 方程式と呼ばれる二つの放物型偏微分方程式の系で記述される．この研究分野のブレイクスルーとなった1995年のNagaiの研究は，粘菌の走化性物質の線形放物型方程式の時間発展スケールが粘菌のそれより極めて小さいと考えて導出した，Nagaiモデルと呼ばれる放物型-楕円型偏微分方程式系の数学解析である．
本研究の移流拡散方程式系はその多くがNagaiモデルを礎とした放物型-楕円型移流拡散方程式系の数学解析である．したがってKeller-Segel方程式を示す放物型-放物型移流拡散方程式系と放物型-楕円型移流拡散方程式系の数学的相関関係を与えることは重要な研究課題である．
本年度は、高次元空間におけるKeller-Segel方程式系の時間微分項に緩和時間パラメータτを設置した初期値問題を考え，その解のτ→∞での特異極限を考えた. この極限方程式はNagaiモデルなる放物型-楕円型移流拡散方程式系と期待できる．Raczynski(2009) とBiler-Brandolese(2009)の先行研究では空間２次元初期値問題に対してscaling 不変なクラスの小さい初期値の時間大域解に対して, 特異極限が行われた.その収束位相空間は擬測度空間あるいはLorentz空間である. しかし実際に大事な点は対応する二つの初期値問題が大きな初期値のところで解が時間発展爆発することである．本研究では高次元での大きな初期値の局所解もふくむ初期値問題に対してscaling 不変な，Serrinの許容指数を持つLebesgue-Bochner空間で, 自然な特異極限の解析に成功した. 解析には熱方程式の初期値問題に対する, 一般化された最大正則性を用いて, 臨界空間の設定のまま解の平滑化効果から生じる余剰正則性を用いずに, 漸近収束を証明する.
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