| 研究課題/領域番号 |
16K05225
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| 研究機関 | 東京大学 |
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研究代表者 |
宮本 安人 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (90374743)
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| 研究期間 (年度) |
2016-04-01 – 2019-03-31
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| キーワード | ソボレフ優臨界 / 準線形楕円型方程式 / 分岐理論 / 一般化スケール変換 / 一般の増大度 / 正値特異球対称解 |
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| 研究実績の概要 |
臨界ソボレフ指数と呼ばれる数より大きい増大度を非線形項に持つ方程式を，ソボレフ優臨界の方程式と呼ぶ．そのような方程式は非線形性が強いために，ソボレフ劣臨界などの通常の楕円型偏微分方程式で有効であった手法（変分法などの関数解析的手法や実解析的な手法）が適用できないことが古くから認識されている．有効な解析手法が存在しないためソボレフ優臨界の方程式の解構造（分岐図式）は未知の部分が大きかった．そこで，球領域における球対称解に限定し解構造を明らかにしようとする研究が50年以上前から行われてきた．しかし球対称解に限定したとしてもその解析は容易ではなく，非線形項が純粋冪型か指数型の二つの場合以外は，多くは知られていなかった．
研究代表者はこれまでの研究において，非線形項の「主要部」が純粋冪型か指数型の場合に，取り得る解構造（分岐図式）を３つタイプ（タイプI,II,III）に分類した．タイプIは分岐曲線が無限個の折り返し点を持つ場合，タイプIIは一つも持たない場合，タイプIIIは1つ以上の有限個を持つ場合と定義した．
今年度は以下の2点に大きな進展があった：
(1)増大する一般の非線形項を持つp-Laplacianやk-Hessianなどの準線形楕円型方程式の解構造（分岐図式）を明らかにした．特に，半線形の場合に藤嶋陽平氏によって発見された一般化スケール変換を準線形の場合に拡張することに成功した．これを用いて，増大する一般の非線形項を持つ準線形楕円型方程式の一般化スケール変換に関する極限方程式が，半線形の時と同様に2種類（純粋冪型と指数型）に分類されることを示し，タイプIとタイプIIとなる十分条件を得た．
(2)さまざまな（半線形又は準線形）楕円型方程式の正値特異球対称解の一意性が得られた．特異解の一意性は，分岐構造解明の鍵になると期待される．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
申請時の計画では，主に下記の4つがテーマであった．(1)非線形項の主要部がべき型の半線形楕円型方程式のDirichlet問題の球対称解に対して分岐図式を決定する，(2)Joseph-Lundgren指数と呼ばれる指数より大きい場合のスカラーフィールド方程式のNeumann問題の球対称解に対して分岐図式を決定する，(3)非線形項の主要部がべき型や指数関数とは限らない一般の増大度を持つ非線形項に対して半線形楕円型方程式のDirichlet問題の球対称解に対して分岐図式を決定する，(4)上記の問題に対して準線形楕円型方程式の場合を考察する．
これに対して，初年度(H28)で，(1)が満足できる水準で達成された．具体的にはタイプI～IIIの全ての非線形項に関する十分条件が得られた．(2)に対しては，現在まで全く進展がない．(3)に対しては初年度(H28)に大きな進展があった．具体的には一般化スケール変換を利用して，タイプIとなる十分条件とタイプIIとなる部分的な十分条件が得られた．(4)に対しては，本年度(H29)に大きな進展があった．具体的にはH28に用いた半線形の場合の一般化スケール変換を準線形の場合に拡張し，タイプIとIIとなる十分条件が得られた．このタイプI～IIの十分条件は半線形の場合(3)にも適用可能な十分条件となっており，(3)を含む結果となっている．特に，タイプIIとなる十分条件については，(3)で得られた条件よりも広い非線形項のクラスに適用可能な条件となっている．
また，研究課題達成に必要な基礎的な成果がいくつかあった．特に，様々な楕円型方程式の正値特異球対称解の一意性の証明に成功した．
これらを総合して，進捗状況を判断した．
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| 今後の研究の推進方策 |
本研究課題の進捗状況の「理由」で挙げた4つのテーマのうち，(1)については達成，(3)(4)については，ほぼ達成と言って良い．具体的には，(1)については，タイプI～IIIのそれぞれとなるための広い非線形項のクラスに適用可能な十分条件が得られた．(3)(4)については，タイプI～IIとなる(1)と同様に充分に一般的な十分条件が得られた．タイプIIIについては，(1)の手法を用いることによって，達成可能だと思われるが，(3)(4)の研究に対しては，タイプIIIの研究は，主要な問題ではないので，もっとも標準的な(1)の問題についてのみ研究を行えば充分であると考えている．
そこで，残された課題は(2)となるので，(2)の研究を進めていきたい．同時に，解構造解明に繋がる基礎的な技術についても研究を進めていきたい．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
差額は今年度使用予定額の約2%なので，ほぼ計画通り研究費を使用したと考えている．差額は翌年度の出張費として使用する予定である．
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