| 研究課題/領域番号 |
16K05235
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| 研究機関 | 高知大学 |
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研究代表者 |
小野寺 栄治 高知大学, 教育研究部自然科学系理学部門, 准教授 (70532357)
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| 研究期間 (年度) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| キーワード | 分散型偏微分方程式 / 幾何解析 |
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| 研究実績の概要 |
1990年代後半以降、ある種の概エルミート多様体に値を取る写像流（あるいは曲線流）がみたす非線型分散型偏微分方程式の具体例に対する研究が、偏微分方程式論、幾何解析、可積分系理論、数理物理学などの様々な視点から進められている。最近、本研究代表者は定曲率閉リーマン面に値を取る閉曲線流がみたすある４階非線型分散型偏微分方程式（以下、方程式Ａと呼ぶ）の初期値問題に対する時間局所解の一意存在を示した。この成果をまとめた論文の査読付き学術雑誌への掲載が決定した。しかし、この多様体に対する定曲率条件の緩和は困難であろうと推察された。そこで、リーマン計量の代わりに曲率テンソルを用いて方程式Ａを修正することにより、新たに曲線流がみたす４階非線型分散型偏微分方程式（以下、方程式Ｂと呼ぶ）を導出した。そして、多様体がコンパクト局所エルミート対称空間ならば、方程式Ｂの初期値問題に対する時間局所解が存在することを示した。方程式Ｂに対するこの結果は、方程式Ａに対する先行結果よりも広い枠組みの多様体を含んでいるが、本質的に同じ解法を用いているという意味で両者に技術的大差はない。むしろ興味深いのは、いわゆる２重シュレーディンガー写像流方程式との関連である。２重シュレーディンガー写像流方程式はDingたちが2014年に初めて提唱した幾何学的偏微分方程式の一種である。一般有限次元のユークリッド空間（または平坦トーラス）からコンパクト局所エルミート対称空間への２重シュレーディンガー写像流方程式の具体形を求めたところ、特に空間１次元の場合はその方程式が方程式Ｂに帰着されることがわかった。従って、本研究成果は２重シュレーディンガー写像流方程式の初期値問題に対する時間局所解の構成に初めて成功したという一面も有する。これらの内容をプレプリントとして執筆し、査読付き学術雑誌に投稿中である。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
当初の予定通りに、コンパクト局所エルミート対称空間への閉曲線流がみたす２重シュレーディンガー写像流方程式の初期値問題に対する時間局所解の存在を証明し、プレプリントの形でまとめることができたため。
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| 今後の研究の推進方策 |
28年度の研究に引き続き、コンパクト局所エルミート対称空間への閉曲線流がみたす２重シュレーディンガー写像流方程式の初期値問題に対する時間局所解の一意性が従うか考察する。また、これらの結果を定義域が高次元空間の場合に拡張できるか考察する。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
3月中の研究を進める際に文房具や書籍等が緊急で必要になることを想定して事前に未使用のまま残しておいた金額と実際に必要になって使用した金額にずれが生じてしまったため。
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| 次年度使用額の使用計画 |
概ね計画通りに使用できていると思われるので、次年度も予定通り進めたい。
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