2019 年度研究成果報告書

分散型写像流方程式の初期値問題に対する幾何解析の展開

研究課題

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研究課題/領域番号	16K05235
研究種目	基盤研究(C)
配分区分	基金
応募区分	一般
研究分野	数学解析
研究機関	高知大学
研究代表者	小野寺栄治高知大学, 教育研究部自然科学系理工学部門, 准教授 (70532357)
研究期間 (年度)	2016-04-01 – 2020-03-31
キーワード	高階分散型偏微分方程式 / ２重シュレーディンガー写像流 / 局所エルミート対称空間 / 時間局所解の一意存在
研究成果の概要	数理物理学において、実2次元単位球面上の曲線流がみたす4階の非線型分散型偏微分方程式が現れる。ここ10年程で、その方程式の幾何学的一般化が提案され、コンパクト定曲率リーマン面上の閉曲線流に対する問題設定において、その初期値問題の滑らかな時間局所解が一意的に存在することが本研究者により示された。本研究では、上記の物理モデルに対する新たな幾何学的一般化を行った。更に、コンパクトな局所エルミート対称空間上の閉曲線流に対する問題設定において、その初期値問題の滑らかな時間局所解が存在することを示した。その他、球面値曲線流がみたすある5階の分散型偏微分方程式の初期値問題の解法研究等も進めた。
自由記述の分野	偏微分方程式, 幾何解析
研究成果の学術的意義や社会的意義	Ding-Wang(2018, Math.Z)により、リーマン多様体からケーラー多様体への写像流に対する幾何学的偏微分方程式が提案され、その解は(シュレーディンガー写像流の自然な高階版という意味で)一般化2重シュレーディンガー写像流と呼ばれる。本研究の4階の分散型方程式に対する成果は、写像流の定義域が1次元（つまり曲線流）という限定的設定化ではあるが、一般化2重シュレーディンガー写像流の存在を保証した初めての成果と言える。今後は解の一意性や空間高次元化に関する研究への進展が期待される。また、5階の分散型方程式に対する成果は、任意奇数階の分散型方程式の場合への拡張が期待される。