| 研究実績の概要 |
2017年度は反応拡散方程式に対する自由境界問題に取り組んだ。この問題は、数理生態学における外来種の侵入や、生物種の移動をモデルとしている。 空間変数を x, 時間変数を t とし、生物種の生息領域を [0.h(t)], 個体数密度を u(x,t) で表わし、u(t,x) は反応拡散方程式で記述されるとする。また、自由境界 x=h(t) の運動はStefan型境界条件で支配されるとする。(u,h) を未知関数とする、このようなタイプの自由境界問題は2010年に Du-Lin により提起されて以来、活発に研究されてきた。こ自由境界が時間とともに無限に拡がり、生物種が新領域に展開する状態に対応する解を spreading 解と呼ぶ。現在、spreading 解について、自由境界 h(t) の展開速度や u(x,t) の漸近的形状について、詳しい評価を求めることが重要なテーマである。spreading 解 (u,h) について、時間とともに自由境界の速度 h’(t) が一定値 c に近づき、自由境界の近傍において u(x,t) が q(h(t)-x) の形に表されるとすると、(q,c) が満たす semi-wave 問題が導かれる。
固定境界において斉次 Dirichlet 条件を課し、解の漸近挙動を調べたのが本研究である。この場合、u(t,x) の形状は多くの研究があるNeumann 条件のケースと大きく異なる。しかし、自由境界自体の運動に本質的な相違はないことがわかった。とりわけ、semiwave 問題の解 (q,c) を利用して h(t) は ct+tH (H は定数)、u(t,x) は [h(t)/2,h(t)]の範囲においてq(h(t)-x) により近似できること証明した。この証明では上下各方向からの比較関数を上手に構成することが重要である。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
本年度の課題は、反応拡散方程式に対する自由境界問題の解 (u,h) について、時間無限大としたときの漸近挙動を詳細に評価することである。とりわ自由境界 x=h(t) が無限に拡がる状況に対応するspreandig 解について、自由境界h(t) の展開速度、u(t,x) の漸近的形状、とりわけ自由境界 x=h(t) の近傍での解の形状を知ることが最重要課題である。この問題についてはsemiwave 問題の解 (q,c) が有用であり、固定境界において斉次Neumann 条件を置いたケースでは詳細な評価がすでに得られている。本年度は固定境界において斉次Diricjlet 条件を置いたケースのspreading 解について自由境界 h(t) を ct+H (H は定数)、u(t,x) を q(h(t)-x) の形の関数で評価できた点が大きな成果である。自由境界問題に対する比較定理を利用することが解析の鍵であり、自由境界問題の解について上と下から評価する比較関数を構成できた点がよかった。
固定境界が斉次Neumann条件の場合でも、反応拡散方程式における反応項がHolling III型のように、2つの安定な正値平衡点を持っている場合には、未解決の問題がある。これらの2つの平衡点は2種類のspreading解を生み出し、それぞれの自由境界は固有の展開速度を持つ。その場合、対応するsemiwave問題が解を持てば、従来の議論が適用できる。しかし、semiwave 問題が解を持たないケースもある。この場合、進行波解とsemiwave 問題の解の両方をつなぐような形状のspreading 解が現れる。現時点ではこのようにテラスを伴う解の漸近評価に取り組み始めた段階である。
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| 今後の研究の推進方策 |
反応拡散方程式に対する自由境界問題に表れるspreading 解について、自由境界h(t) と解 u(t,x) に関する漸近的形状の評価が課題である。時間無限大になるにつれ、u(t,x) は正値定常解に広義一様収束する、しかし、この解は自由境界付近の形状については情報を与えない。自由境界付近の形状はsemi-wave 問題の解によって近似される。これらの結果を統一した形で解の漸近評価につなげたい。
(１) Holling III 型のような multi-stable タイプの反応項を扱うとき big spreading 解と small spreading 解の2種類の解が登場する。それぞれの spreading 解に対応するsemi-wave 問題があり、この問題が解を持てば自由境界や解の形状について詳細な評価を得ることができる。しかし、big spreading 解に対するsemiwave 問題が解を持たないケースがある。この場合、自由境界の展開速度は時間とともに small spreading 解と同じ一定値に収束することが知られている。解の形状については、数値シミュレーションでは、テラスを伴う形状の解が現れる。このような解形状を実現するためには、small spreading 解に対応するsemi-wave 問題の解と2つの平衡点を結ぶ進行波解を同時に利用することが有効だと考えている。
(2) 高次元領域での自由境界問題の研究も非常に重要である。1次元領域と異なり、故次元領域での自由境界問題は内側の自由境界が有限時間で1点に凝縮し、消えるケースがある。このような場合、弱い意味での解を考える必要があるが、消失する直前までは正則性を保持すると思われ、解の形状を知ることは数学的に興味深い課題である。
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