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非線形の拡散現象を記述する放物型方程式に関して、進行波と界面のダイナミクスについて研究を行った。非線形系の拡散現象は、物理学、化学、生物学、さらに近年は金融工学上のモデル等、多くの分野で現れる。それらの中には、急激な状態変化が狭い領域に集中する界面と呼ばれる局在構造が出現して、この界面の示す振る舞いを理解することが非線形現象を解明する上での鍵になることが数多くある。単独、あるいは連立の非線形拡散方程式で記述される拡散現象では、界面の動力学を支配する方程式が、形式的な漸近展開によって、空間内の曲面の発展方程式として導かれている。これらの曲面の発展方程式は、微分幾何学的には広い意味で平均曲率流方程式と呼ばれるものとなる。拡散現象が単独方程式で記述されている場合には、導出の数学的正当化がすでに多くの研究者の努力の結果、ほぼ満足のいく形で成功している。しかしながら、この種の‘数学上の良い構造’を持たない一般の連立系に関しては数学的正当化は得られていない。本研究では、進行波のダイナミクスについては、FitzHugh-南雲方程式、あるいは、類似の方程式の進行波の衝突消滅を数学的に厳密に示すことを目指している。また、界面のダイナミクスについて、比較定理や変分構造を有さない一般の連立系に対して、界面のダイナミクスの縮約系として平均曲率流が現れることを数学的に厳密に示すことを目指している。一方で、厳密な数学的ステートメントとして示すことを目指しているため、数学的なステートメントを実際にはどのように解釈すべきなのか、といったことも問題になる。本年度は、特に、従前から考えられてきた状況よりも、より広い範囲に対して適応可能な普遍的な解釈方法についての考察を行った。
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