| 研究実績の概要 |
1-skeletonが反角柱の双対グラフ(つまり pseudo-double wheel)で, 対称群がタイルに推移的に作用する(つまりタイル推移的)球面タイリングの分類を完成した. このために, 辺の長さの余弦に関する2次方程式で特徴付けを行った. これにより,「タイルの4内角の巡回リストが同じで, 1-skeletonも同じpseudo-double wheelだが, 非合同なタイル推移的球面タイリングが存在する」ことがわかった。 これは, 合同な3角形による球面タイリングがタイルの3内角と1-skeletonとで決定できること, とは対照的である. 12面からなるseudo-double wheelを1-skeletonとするタイル推移的なある球面タイリングが, 前述の2次方程式の重根に対応し, 一方で, そのタイルの12個のコピーによりタイル非推移的な球面タイリングができることを示した. これにより, タイル推移的球面タイリングの1-skeletonの特徴付け定理[Grunbaum-Shepherdson1980]の逆問題, すなわち, タイル推移的球面タイリングの1-skeletonを持つがタイル推移的でないタイリングの全列挙問題, が前述の2次方程式により浮き彫りになった.単位球面の正多角形によるタイリングを全て分類した. [DeVos-Mohar07]や[Ghidelli2017]に動機付けられて, 球面多角形たちで同一の長さの辺を同一視して作られる多面体的曲面(spherical polyhedral surfaces)のクラスを考え, 球面タイリングを許容しないものの面積と, 単位球面の面積とのgapを評価した(Bobo HUA(復旦大学・数学)との共同研究).
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
定曲率空間のタイリングを, より広く
spherical/hyperbolic polyhedral surfacesを考えると,
グラフの離散曲率がAlexandrovの多面体論と相性がよく, グラフ理論における放電論法が
定曲率空間のタイリングの分類に利用できるめどがたち, 離散曲率を通じてコンピュータを利用して研究できる幅が広がったため.
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