| 研究課題/領域番号 |
16K05250
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| 研究機関 | 新潟大学 |
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研究代表者 |
鈴木 有祐 新潟大学, 自然科学系, 准教授 (10390402)
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| 研究期間 (年度) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| キーワード | 1-平面グラフ / グラフマイナー / 完全多部グラフ / 有向グラフ |
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| 研究実績の概要 |
海外の研究者と共に「Beyond Planarity」という本の執筆を行った．平面グラフに対する既存の結果を様々な視点から拡張させた話題を集めたものであり，研究代表者は「1-planar graph」という章を担当した．そこでは，既存の結果及び自身の研究成果を紹介するとともに，新たな命題を証明と共に複数書き加えている．その過程で，これまでの研究（「平面」に限定した部分）を見直し次なる課題を見つけることもできた．また，他の研究者の書いた別の章を査読した際，新たな知見を得ることもできている．
大学院生であった渋谷氏との共同研究では，射影平面上に1-交差埋め込み可能な完全多部グラフに関する結果を論文にまとめる作業を行っている最中である．研究結果を精査し，長い証明をコンパクトにまとめる方法を模索中である．また，トーラス上に1-交差埋め込み可能な完全多部グラフに関する研究も進展しており，現在，K_{4,3,3}が所望の描画をもつのかどうかが完全解決の鍵であるというところまでわかってきている．
大学院生である曽根氏との共同研究では，完全グラフをマイナーに持つ多重最適1-平面グラフを完全に特徴づけることができた．グラフが単純である場合は必ずK_6-マイナーをもつことが知られているが，多重グラフにまでグラフのクラスを広げてしまうとその限りではなく，いくらか新たな操作を導入して議論を行う必要があった．現在は，射影平面上の単純最適1-交差埋め込みがK_7-マイナーをもつかどうかという問題を考えている．
また，成蹊大学の松本氏との共同研究では“Key walk”と呼ばれる特徴的な構造に着目し「Gと長さ1の道とのlexicographic積が1-平面的であるための必要十分条件はGがcacutusであることである」という命題を証明することに成功している．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
「研究実績の概要」にも記述した通り，射影平面とトーラス上に1-交差埋め込み可能な完全多部グラフに関しては当初予想していた以上の早さで研究が進んでいる．その過程で，完全3部グラフの辺数の上界に関する議論も行い結果を出しているが，引き続きその証明内容や評価の最善性に関する確認を行っていく．また，完全グラフをマイナーに持つ多重最適1-平面グラフの研究に関してもまとまった結果を出すことができている．射影平面上の単純最適1-交差埋め込みに関しては，現在議論を進めている最中であるが，平成30年度に作成した「完全グラフマイナーの有無を判定するプログラム」を用いることで，研究を加速させることができそうである．（木更津高専の佐野氏が考案した比較的高速で実用的なアルゴリズムを基に作成．）条件を付けたグラフの1-平面性を判定する問題は，当初想像していた以上に難しく，現在停滞している状況である．
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| 今後の研究の推進方策 |
「トーラスに1-交差埋め込み可能な完全多部グラフ」に関しては，K_{4,3,3}が我々の期待する描画をもつかどうかを判定する必要がある．これまでと同様の議論では場合分けが多くなりすぎて扱いきれない状況なので，今後，計算機を用いた判定方法も模索していく．射影平面の結果を出した際の感触では，このグラフに関して結論を出すことができれば，完全4部グラフ以上のグラフに関してもスムースに研究を進めていくことができそうである．「K_7-マイナーをもつ射影平面上の単純最適1-交差埋め込み」に関しては，ある程度の構造を詰め，考えるべきグラフを特定するところまで研究が進んでいる．それらのグラフに対して，“完全グラフマイナーの有無を判定するプログラム”を用いて判定を行い，我々の期待する特徴付けを完成させる．また，東京理科大学の川谷氏と「有向1-平面グラフに関する研究」をスタートさせた．それらのグラフが平面上で“良い描画”をもつための必要十分条件を得るべく議論を行っていく．
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