| 研究課題/領域番号 |
16K05259
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| 研究機関 | 早稲田大学 |
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研究代表者 |
齋藤 正顕 早稲田大学, グローバルエデュケーションセンター, 助教 (90525164)
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| 研究分担者 |
長谷川 武博 滋賀大学, 教育学部, 准教授 (80409614)
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| 研究期間 (年度) |
2016-04-01 – 2019-03-31
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| キーワード | 被覆グラフ / ゼータ関数 / リーマン予想 / ラマヌジャングラフ |
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| 研究実績の概要 |
課題に関して，本年度は以下の結果を得た．
(1) 1974年に K.S. Williams が素数の合同条件について拡張した Mertens の第3定理のグラフ理論的類似を，正則被覆グラフで，被覆群が非アーベル群の場合に証明した．主要項の係数にはArtin-Ihara の L-関数や，グラフの位相的エントロピーが現れることが分かった．さらに，Williams の定理に現れる主要項の係数についての極限公式( A. Languasco と A. Zaccagnini による 2007年の結果)についても，そのグラフ理論的類似を得た．結果は投稿中である．
(2) Mertens 定理のグラフ理論的類似について，誤差項を精密化することができた．結果は次の論文として出版された．T. Hasegawa and S. Saito, On graph theory Mertens' theorems, Graphs Combin., 32 (2016), no. 5, 1915-1930.
(3) 数論では，リーマン予想の一般化として，ディリクレL関数の Re(s)=1/2 上における極限に関する予想（深リーマン予想）が 赤塚 広隆 氏らによって提唱されている．そのグラフ理論的類似をラマヌジャングラフの正則被覆グラフで，被覆群がアーベル群のときに証明することができた．これにともない，アーベル被覆グラフの Mertens の定理を，Ihara ゼータ関数の収束円上にある極について拡張することができた．結果は投稿に向けて論文執筆中である．
(4) (1),(3) の結果に関して，研究集会「第 10 回ゼータ若手研究集会」(2017年2月17日 名古屋大学)で講演した（招待講演）．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
平成28年度の研究計画として「(1)非アーベル正則被覆グラフに関するグラフのメルテンス定理の拡張」及び「(2)グラフ理論的深リーマン予想の定式化」を予定していた．(1) については，被覆群がアーベル群のときを含むような形で必要とする関数（関数 K）を拡張することができ，その正則性から(1)を証明することができた．結果は論文として投稿中である．関連する数論のメルテンスの定理をリトアニアの国際研究集会で発表した．この研究内容について「第10回ゼータ若手研究集会」（於 名古屋大学）で招待講演をした．(2) については，まずはラマヌジャングラフのアーベル正則被覆グラフの場合に，グラフの深リーマン予想を定式化することができた．このために，アーベル正則被覆グラフの場合のメルテンス定理をIhara ゼータ関数の収束円上の極に関して拡張する必要があった．論文は投稿に向けて準備中である．この結果については研究集会「グラフゼータと量子ウォークの諸相」（於 室蘭工大）で発表した．また，課題に関連して「(3)グラフのメルテンス定理の精密化」に関する論文が出版された(Graphs Combin., 32 (2016), no. 5, 1915-1930.)
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| 今後の研究の推進方策 |
非正則グラフの Ramanujan 不等式を定式化するために，Ihara ゼータ関数の収束半径に関する予想(A. Terrasによる)について調べる．また，Terrasの予想とグラフのリーマン予想，A.Lubotzky や S.Hoory による非正則 Ramanujan 不等式の候補との関係を調べる．一般には正則とは限らない疎なランダムグラフの無限列（増大列）の性質を調べる手法を応用して非正則 Ramanujan 不等式の定式化ができないかを探る．Iharaゼータ関数の拡張を考えることで，非正則 Ramanujan 不等式を定式化できないかを探る．グラフのMertens 定理をグラフの無限被覆に拡張できないかを探る．グラフの Mertens 定理を自由群の性質を調べる手段として応用できないかを検討する．
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