| 研究実績の概要 |
頂点数の等しい２つの単純無向グラフG, Hに対して，Gを盤グラフ，Hを石グラフとする石交換パズルpuz(G,H)を次のように定義する．Gの頂点集合からHの頂点集合への全単射写像fをpuz(G,H)の配置と呼ぶ．配置fにおいて，a=f(v)であるとき，盤の目vを石aが占めている，と解釈する．puz(G,H)の与えられた配置fにおいて，uvがGの辺であり，かつf(u)f(v)がHの辺であるとき，2つの石a=f(u)とb=f(v)を交換することができる．つまり，新たな配置gを，g(u)=f(v), g(v)=f(u), xがuとv以外のGの頂点のときg(x)=f(x)と定義すると，fはgに変換できる．この変換をpuz(G,H) の手という．2つのpuz(G,H)の配置f,gについて，有限回の引き続く手によってfからgに変換できるときfとgはpuz(G,H)-同値という．
ここで，G=Hとする．Gの自己同型写像fはpuz(G,G)の配置とみなすことができる．Gの恒等写像とpuz(G,G)-同値な自己同型写像全体はGの自己同型群の部分群となる．これをGの石交換群と呼び，Peb(G)と書く．本研究課題ではPeb(G)の基本的性質を調べた．特に「定理1．任意の連結グラフGについて，Gの自己同型群はGの2乗グラフG^2の石交換群に含まれる」を証明した．この証明のキーとなる補題は「補題2．パスP_nの自己同型群はP_n^2の石交換群に含まれる」であり，定理1は補題2を繰り返し用いることにより証明される．補題2は「パスの反転操作」というグラフ上の新たな操作の重要性を示唆しており，この操作の詳しい研究は今後の研究課題といえる．
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