| 研究課題/領域番号 |
16K05271
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| 研究機関 | 京都大学 |
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研究代表者 |
友枝 謙二 京都大学, 情報学研究科, 研究員 (60033916)
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| 研究期間 (年度) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| キーワード | 数値解析 / 差分法 / 自由境界 / 界面ダイナミクス / サポート分離併合 |
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| 研究実績の概要 |
本研究では、「サポート・ダイナミクス」の一つである「蒸発と拡散を伴う流れに現れる浸透領域(サポート)の変化」を数値的に再現する事と その数学的解析を目的とする。具体的には、境界上に周期的流入・流出を伴う条件を課した時に現れる解のサポートの分離・併合及びその反復性について扱い、このような現象の発生メカニズムを解明する数値計算法を構築することである。当該年度(平成28年度)は以下の事を実施した。
1 蒸発過程での浸透領域の変化の数理モデルを 吸収項を伴う多孔性媒体中の流れを記述する空間2次元の非線形拡散方程式で表した。これに対して 空間方向に Operator splitting method に基づいた計算法を構成した。その際 解のサポート(浸透領域)の挙動は この方程式に含まれている非線形双曲型が引き起こす衝撃波に沿って伝搬する。この衝撃波を数値的に解くために空間1次元のRiemann問題の数値解法を構成しそれを援用した。更に計算の検証のために多倍長精度計算法が導入し易いプログラムであるように考慮した。
2 1で構成した数値計算法を用いて以下の数値実験を行った。・ Riemann問題を解く数値ソルバーが空間1次元において理論的に正しく動作する事を確認し、空間2次元にも数値的に安定に適用できた。・初期値問題では 吸収項のパラメータによって解が有限時間内に消滅する場合とそうでない場合が知られている。この性質を数値的に再現する事ができるような 安定な計算法、空間メッシュ幅、時間ステップを探した。・初期境界値問題においては 時間無限大に匹敵するまで数値計算を遂行するので、数値的安定性が保たれるように計算のアルゴリズムの効率化を図った。
3 2で得られた数値例について 研究集会で発表した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
本科研申請にあたっては 空間1次元で用いた数理モデルとそれに対する数値計算法について研究調査を行なっていたので、それらの内容を空間2次元に援用することが可能となり、特に以下の点において当該年度(28年度)の研究を進める事ができた。
1 境界からのさまざま流入流出に対して 数値計算を行うためのアルゴリズムの準備ができた。
2 Operator splitting method を導入したことによって 構成した数値計算法の数値的安定性を示す事も可能になりつつある。
3 本研究で用いる空間2次元の数理モデルに対して 固定境界条件を持つ軸対称な定常解をいくつか構成する事ができた。現在その定常解の安定性 即ち 時刻を無限大にした時 その定常解に収束するか否かを数学的及び数値的に検証する準備ができた。
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| 今後の研究の推進方策 |
当年度は 数値実験と数値解の収束性に主眼を置いて研究を以下の通り進める。
1) 前年度にOperator splitting methodの考えで構成した計算法を用いて更に以下の事に留意しながら数値実験を続ける。i) 空間メッシュ幅を十分小にした時 数値データの安定性とその収束性を確認する。ii) どのような形状の初期サポートが時間発展とともに分離するか否かを数値的に調べる。一方、2つに分離しているサポートが併合するような初期サポートの形状も調べる。特に 分離した初期サポート間の位相的な位置関係と併合性について数値的に調べる。iii) どのような初期単連結なサポートが多重連結なサポートに変化するか否かを調べる。iv) 初期境界値問題においては 時間無限大に相当するまでの数値計算データから 定常解のサポートの形状を調べる。v) ii),iii),iv)について数学的検証を行うには更に正確な数値計算結果が必要とされる場合があるので そのために多倍長精度計算法の準備を行なう予定である。
2) 1)で得られた計算結果から 以下の事について数学的条件を探し証明を試みる。i) 各時刻を固定し、空間メッシュ幅を十分小にした時 数値解が安定であり且つ真の解に収束する事(このために Frechet-Kolmogorovのコンパクト性の定理の援用を図る)。 ii) サポートが分離するための十分条件、分離したサポートが併合するための十分条件、及び多重連結なサポートに変化するための初期形状に課すべき条件。 iii) 空間メッシュ幅をゼロに収束させた時、数値計算で得られた定常解が真の定常解に収束する事。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
当該年度(28年度)において ノートパソコンを購入し 計算プログラムの作成、計算結果の画像処理、研究発表の原稿等の作成を行った。この時 ノートパソコンの記憶容量に十分余裕があったので 敢えてハードディスク及びUSBメモリーを購入しなかった。そのため次年度使用金額が生じた。
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| 次年度使用額の使用計画 |
当年度(29年度)においては 更に数値計算を進めるので その際 計算データ及び画像データが当初計画よりも多く生じることが予想される。それを蓄積するためのハードディスク及びUSBメモリーの購入に次年度使用金額を充当する。
まとめると 当年度の使用計画は 物品費として 書籍、数値計算の蓄積に伴うハードディスク、USBメモリー、文房具等に150千円+24,807円、国内国外での研究発表旅費として500千円、人件費・謝金として計算データの整理補助に50千円、その他として国際会議発表の登録料に100千円で計上し使用金額の合計は824,807円となる。即ち24,807円以外は交付申請書に記載した内容通りである。
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