| 研究課題/領域番号 |
16K06430
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| 研究機関 | 明治大学 |
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研究代表者 |
遠藤 哲郎 明治大学, 理工学部, 専任教授 (60247145)
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| 研究分担者 |
高坂 拓司 大分大学, 理工学部, 准教授 (80320034)
稲葉 直彦 明治大学, 研究・知財戦略機構, 研究推進員(客員研究員) (90213123)
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| 研究期間 (年度) |
2016-04-01 – 2019-03-31
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| キーワード | アーノルド共鳴ウェブ / 準周期振動 / 部分同期現象 / 区分定数回路 |
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| 研究実績の概要 |
2つの周波数からなる準周期振動にはアーノルドの舌と呼ばれる複雑な同期引き込み領域が生じることが知られているが、3つ以上の周波数からなる準周期振動にはアーノルド共鳴ウェブと呼ばれるはるかに複雑な同期現象が生じることが知られている。ここでは例えば3つの周波数からなる準周期振動においては3つの周波数成分のうち2つの周波数成分からなる部分同期現象が生じることが明らかにされ、この部分同期引き込み領域がパラメータ空間内において蜘蛛の巣状に縦横無尽に交錯する。これらの現象は、主に数学モデルである写像のみの解析によって調べられてきたが、実物理系を記述する連続力学系のアーノルド共鳴ウェブの解析は、計算コストと精度の問題から、ほとんど解析が行われていなかった。さらに、実際の実験による観察も行われていなかった。
本研究では、Tsuboneらが提案する区分定数回路と呼ばれる著しく単純な電気回路を用い、数値的および回路実験によってアーノルド共鳴ウェブを観察することを目的としている。区分定数発振器の基本はオペレーショナルコンダクタンスアンプを用いたヒステリシス発振器の結合系からなり、その回路を記述する微分方程式の右辺は区分的に定数によって与えられる。この著しく単純な回路においては、解が数値積分を用いずに陽に解くことが出来る。さらに、この陽に導出された解は、区分定数系の折れ線上で解を解析的に接続することが出来る。このような解を用いれば、区分定数系のリアプノフ指数は写像のそれとほぼ同じ計算量と精度で導出することが可能である。さらに、区分定数回路は回路実験においても容易に実現することが出来る。本研究は、実回路のアーノルド共鳴ウェブを区分定数回路を用いて、数値的、および、実験的に観察することを目的としている。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
リアプノフ指数を効率的に求めることが本研究のカギである。リアプノフ指数とは近傍に存在する解が拡大的か縮小的かを表す平均量で、ShimadaとNagashimaが提案する方法で効率的に求めることが可能である。現在までの研究において、このリアプノフ指数を求めるため、2つの解軌跡の変分を微小に離れた2つの初期値から出発する解の差を用いて計算をした。そして、2パラメータ分岐図をリアプノフ解析により求め、アーノルド共鳴ウェブを観察することに成功した。
一方、回路実験においても、3つの振動周波数からなる3次元トーラスと、部分同期した2次元部分同期引き込み現象の観察に成功している。
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| 今後の研究の推進方策 |
「現在までの進捗状況」の欄で述べたように、リアプノフ指数を求める際、微小な距離の解が拡大していくかあるいは縮小していくかを計算するため、微小変位を持つ解軌道を計算して、求めた。実際には、3つの周波数からなる3次元トーラスと、部分同期した2つの周波数からなる2次元トーラスを区別するため、微小変位を持つ解を3つ準備し、グラムシュミットの正規直行化法を用いながら計算した。今後は、解に微小変位を与えるのではなく、直接陽に計算された解軌跡から解析的にヤコビアン行列を導出し、そのヤコビアン行列式を用いてリアプノフ指数を求めることにより、より計算速度と精度の両面を上げる。最終的に求める2－パラメータリアプノフダイアグラムは縦横1000×1000のメッシュで、それぞれのメッシュにおいてグラムシュミットの正規直交化の反復回数を1000万回とし、1/100万より小さい場合のリアプノフ指数を0リアプノフ指数と見なすことにする。
さらに、回路実験の精度を上げ、数値実験と定性的に一致した準周期振動の部分同期現象を観察する。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
研究が円滑に進んだため、また、必要な計算機は校費で購入したため残金が生じた。残金は翌年度の消耗品の購入に充てる。
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