| 研究課題/領域番号 |
16K13743
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| 研究機関 | 東京大学 |
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研究代表者 |
植田 一石 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (60432465)
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| 研究分担者 |
毛利 出 静岡大学, 理学部, 教授 (50436903)
大川 新之介 大阪大学, 理学研究科, 准教授 (60646909)
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| 研究期間 (年度) |
2016-04-01 – 2019-03-31
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| キーワード | 導来圏 / 代数多様体のGrothendieck環 |
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| 研究実績の概要 |
京都大学大学院理学研究科の伊藤敦氏、大阪大学大学院理学研究科の大川新之介氏および韓国高等科学院の三浦真人氏と共同で、代数多様体のGrothendieck環の構造に関する研究を行った。G_2型のGrassmann多様体はちょうど2個あるが、これらの上の適当な階数2の同変ベクトル束の大域切断の零点として、3次元Calabi-Yau多様体XとYが定義される。これらのCalabi-Yau多様体はそれぞれPfaff多様体の中のCalabi-Yau多様体X'とGrassmann多様体の中のCalabi-Yau多様体Y'に変形することが知られており、さらにX'とY'は代数多様体のGrothendieck環の中である関係式を満たすことがBorisovやMartinによって証明されていたが、我々はXとYが代数多様体のGrothendieck環の中で関係式([X]-[Y])L=0を満たすことを発見した。ここで、Lは代数多様体のGrothendieck環におけるアファイン直線のクラスである。さらに、X'とY'が導来同値であることがBorisov-CaldararuやKuznetsovによって知られていたが、我々はXとYが導来同値であると予想するとともに、滑らかな射影多様体VとWが導来同値である時に、[V]-[W]がLの冪で消えるかという問題を提出した。同じ問題は同時期に独立にKuznetsovとShinderによっても提出されており、この分野における重要な問題であると考えられる。X'とY'の導来同値性は程なくしてKuznetsovによって証明され、それを踏まえて、筆者は8次元のフロップを用いる新たな証明を与えた。さらに、伊藤氏、大川氏、三浦氏と共同で、非常に一般の次数12のK3曲面に対しては上の問題に対する答えが肯定的であることを証明した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
導来圏の研究は非可換代数幾何において重要であるが、当該年度の研究によって、導来圏と代数多様体のGrothendieck環の関係を調べることが興味深い問題であることを明らかにすることが出来た。
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| 今後の研究の推進方策 |
代数多様体のGrothendieck環に加えて、Bondal-Larsen-Luntsによって導入された前三角微分次数圏のGrothendieck環についても研究を行い、非可換幾何学への応用を目指す。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
次年度に国際研究集会を行うため。
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| 次年度使用額の使用計画 |
招聘旅費に使用する。
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