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2018 年度 実施状況報告書

非可換代数幾何学と一般化された複素構造の研究

研究課題

研究課題/領域番号 16K13746
研究機関大阪大学

研究代表者

大川 新之介  大阪大学, 理学研究科, 准教授 (60646909)

研究分担者 後藤 竜司  大阪大学, 理学研究科, 教授 (30252571)
研究期間 (年度) 2016-04-01 – 2020-03-31
キーワード非可換代数幾何学 / 非可換射影空間 / 導来圏 / 正則Poisson構造 / Hirzebruch曲面
研究実績の概要

非可換Hirzebruch曲面についての研究結果をまとめたプレプリントarXiv:1903.06457を発表した。アーベル圏と一般化された複素構造は同じ変形理論を持つため、後藤による一般化された複素曲面の変形複体に関する結果より、Hirzebruch曲面の非可換変形は次数が4以上の場合に障害を持つ。一般に障害を持つ変形は複雑であるが、Van den Berghの仕事により、Hirzebruch曲面の非可換変形は全て射影直線上の階数2の局所自由層両側加群によって記述できる。このような結果があるということは、非可換代数幾何学側の強みと言える。
我々は上述のプレプリントで局所自由層両側加群の明示的な分類を与えた。さらにこれを用いて、対応する非可換Hirzebruch曲面の導来圏に充満強例外対象列を構成し、その応用として一般の非可換2次曲面との導来同値を証明した。また、2次のHirzebruch曲面と重み付き射影平面P(1,1,2)の導来同値の非可換変形を特別な場合に確認した。これはA1特異点のMckay対応の非可換変形とみなせるもので、今後調べるべきことが多く残っている。
非可換P(1,1,2)は興味深い対象であり、これを利用して非可換3次元orbifoldの興味深い族が構成できることがわかる。後藤との議論により、それに対応する正則Poisson幾何が存在することを確認した。
また、AS正則3次元quadratic代数の中心拡大として得られる4次元AS正則代数の直線加群のモジュライ空間について詳しく調べた。これは、幾何学的には非可換3次元射影空間内の直線のモジュライ空間を調べたということである。モジュライは2つの既約成分を持つが、主成分は射影直線の27次分岐被覆を与える。GAPによる計算で、この分岐被覆のモノドロミーを決定した。

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

3: やや遅れている

理由

他の研究に時間がかかったため、非可換代数幾何学で得られた結果や知見をポアッソン幾何や一般化された複素構造に関係する研究に応用するところまで行けなかった。研究期間を延長したので、次年度にその部分に取り組みたい。

今後の研究の推進方策

上述の非可換3次元射影空間に対応するのは、(通常の複素)3次元射影空間の(1,3)型ポアッソン構造による一般化された複素多様体としての変形である。そのような一般化された複素多様体の変形複体を後藤の理論で計算する際に、我々のモノドロミーの計算結果が利用できるはずである。これに取り組みたい。
また、一般化された複素構造をorbifoldに拡張するという問題も考えたい。非可換変形の場合、schemeからDeligne-Mumford stackへの一般化は決して自明ではなく、特にtwisted sectorからの非自明な寄与によって変形にextraな自由度が生じる。これに対応する現象は何か、という点を明らかにしたい。

次年度使用額が生じた理由

他の研究課題や教務等の業務に想定以上に時間が取られたため、本研究課題に取り組む時間が十分に取れなかったため、研究期間を延長して対応することとした。

  • 研究成果

    (10件)

すべて 2019 2018 その他

すべて 国際共同研究 (4件) 雑誌論文 (1件) (うち査読あり 1件) 学会発表 (5件) (うち国際学会 5件、 招待講演 5件)

  • [国際共同研究] FWO(ベルギー)

    • 国名
      ベルギー
    • 外国機関名
      FWO
  • [国際共同研究] ICTP(イタリア)

    • 国名
      イタリア
    • 外国機関名
      ICTP
  • [国際共同研究] Carleton University(カナダ)

    • 国名
      カナダ
    • 外国機関名
      Carleton University
  • [国際共同研究] University of Edinburgh(英国)

    • 国名
      英国
    • 外国機関名
      University of Edinburgh
  • [雑誌論文] The class of the affine line is a zero divisor in the Grothendieck ring: via G2-Grassmannians2019

    • 著者名/発表者名
      Atsushi Ito, Makoto Miura, Shinnosuke Okawa, Kazushi Ueda
    • 雑誌名

      Journal of Algebraic Geometry

      巻: 28 ページ: 245--250

    • DOI

      https://doi.org/10.1090/jag/731

    • 査読あり
  • [学会発表] Defining noncommutative del Pezzo surfaces as AS-regular I-algebras2018

    • 著者名/発表者名
      Shinnosuke Okawa
    • 学会等名
      MFO workshop: Interactions between Algebraic Geometry and Noncommutative Algebra
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] On the definition of noncommutative del Pezzo surfaces2018

    • 著者名/発表者名
      Shinnosuke Okawa
    • 学会等名
      Positivity in Algebraic Geometry
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] On the definition of noncommutative del Pezzo surfaces2018

    • 著者名/発表者名
      Shinnosuke Okawa
    • 学会等名
      HOMOLOGICAL METHODS IN ALGEBRA AND GEOMETRY II
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] On the definition of noncommutative del Pezzo surfaces2018

    • 著者名/発表者名
      Shinnosuke Okawa
    • 学会等名
      Differential, Algebraic and Topological Methods in Complex Algebraic Geometry
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Noncommutative del Pezzo surfaces as AS-regular I-algebras2018

    • 著者名/発表者名
      Shinnosuke Okawa
    • 学会等名
      Noncommutative deformations and moduli spaces
    • 国際学会 / 招待講演

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公開日: 2019-12-27  

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