非可換代数幾何学と一般化された複素構造の研究

2019 年度 研究成果報告書

• 研究課題/領域番号: 16K13746
• 研究種目: 挑戦的萌芽研究
• 配分区分: 基金
• 研究分野: 代数学
• 研究機関: 大阪大学
• 研究代表者: 大川 新之介 大阪大学, 理学研究科, 准教授 (60646909)
• 研究分担者: 後藤 竜司 大阪大学, 理学研究科, 教授 (30252571)
• 研究期間 (年度): 2016-04-01 – 2020-03-31
• キーワード: 非可換代数幾何学 / AS正則代数 / 一般化された複素構造

研究成果の概要

非可換射影平面および非可換2次曲面に対応する非可換代数のクラスを拡張し、任意の非可換del Pezzo曲面に対応する非可換代数のクラスを定義した。また、可換代数幾何的データとの対応についても、既知の結果の拡張に部分的に成功した。
Orbifoldに対するHKR同型について予想を立てると共に、興味深い具体例において検証を行った。これに触発され、一般化された複素構造の定義をorbifoldに拡張した。
非可換重み付き射影空間P(1,1,1,2)を与える非可換代数の族と、それに対応したポアッソン幾何を(可換な)P(1,1,1,2)上に発見した。これは非可換2次del Pezzoの反標準線型系と関わる。

自由記述の分野

代数幾何学

研究成果の学術的意義や社会的意義

非可換射影幾何学、一般化された複素幾何のどちらにとっても、非可換/一般化されたdel Pezzo曲面は最も重要で基本的な例である。非可換射影幾何学においては射影平面と2次曲面の場合を除いて基礎づけに不満があったが、それを補う形で一般の非可換del Pezzo曲面を定義するようなAS正則代数のクラスを定義することができた。また、orbifoldの非可換変形に関する理解が進み、思った以上に豊かな現象が起きていることがわかった。さらに、Poisson幾何との対応を参照することで、高次元の新たなAS正則代数のクラスが発見できた。これらは今後研究対象となるべきものである。