| 研究実績の概要 |
ケーラー幾何学において, スカラー曲率はハミルトニアン同型写像のなす群の作用に関するモーメント写像と一致することが, 藤木, ドナルドソンにより既に示されている. 一般化されたケーラー幾何においては, レビ・チビタ接続に相当する概念がなく, スカラー曲率をどのように定義するべきか, 五里霧中の状況であったが, 研究代表者は一般化されたケーラー幾何学において, スカラー曲率をモーメント写像の枠組みから新たに導入した. スカラー曲率一定のケーラー計量の存在, 非存在はケーラー幾何学の中心的な問題であり, 様々な研究の蓄積がある. 初期の結果として, 松島ーリヒネロビッツの自己同型群に関する障害定理がよく知られている. 今年度は一般化されたケーラー多様体において, 松島ーリヒネロビッツの自己同型群に関する障害定理の拡張を試みた. 一般化された複素多様体において, 自己同型群に相当する概念がコホモロジカルに構成され, また一般化されたケーラー多様体において, reduced automorphisms が構成される. 一般化されたケーラー多様体でシンプレクティック型と呼ばれるものについては, とてもうまく構成が進み, スカラー曲率が定数となる一般化されたケーラー構造を持てば,自己同型群は簡約なリー群となることが示された. これは上記 松島ーリヒネロビッツ定理の自然な拡張である.
例えば, ２次元複素射影空間を一点ブローアップして得られる複素多様体 X の通常の自己同型群は簡約リー群ではないので, X はスカラー曲率が定数となるケーラー計量はもたない. しかし, 一般化されたケーラー構造の場合, X 上には X 上の反標準因子 C の形により,一般化された複素多様体としての自己同型群が変化し, 自己同型群が簡約となる場合があり, 通常の場合とは異なる興味深い現象が現れる.
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