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本課題は、d次元空間でd-次元クーロンポテンシャルを考え、対応する確率力学や平衡分布の性質を調べることを目的とした。このクラスは、クーロン力の遠距離相互作用の強烈さのため、研究がほとんど進んでおらず、実際、このような平衡分布は2次元空間の逆温度2の場合しか構成されていない挑戦的な課題である。
本研究では、2次元空間で粒子を周期的にばらまき固定し、各粒子は等しい電荷を帯びておりクーロンポテンシャルによる、ランダム環境を考察した。一般の逆温度βを考えパラメーターとする。その中に一つ粒子を挿入する。挿入粒子の挙動は、環境粒子のクーロン力を受けて、運動する確率力学とする。つまりブラウン運動の部分に、クーロン力から生み出されるdrift項を加えた確率微分方程式で記述される確率力学である。
問題は、以上の設定で、その拡散的スケーリングによる極限、つまり、均質化（ホモジナーゼーション）を調べることである。まず、環境粒子が完全に周期的な場合は、均質化を行うと、非退化なブラウン運動に収束することを示した。次に、環境粒子を一つ取り除き、均質化を行った。その結果、極限が逆温度βの値によって、非退化か否かが変わる、という意味で相転移現象が起ることを証明した。ポテンシャルがRuelleクラスという、通常のものならば、極限は常に非退化となる。そういう意味で、この結果は、クーロンポテンシャルの遠距離相互作用の強烈さを示した一例である。
以上の結果は平成28年度に原型が得られたものだが、論文としてまとめて行く上でDirichlet形式の領域選択の技術が有効に働くことが判明し、話を整理し証明を簡略化した。
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