| 研究課題/領域番号 |
16K13767
|
|---|
| 研究機関 | 早稲田大学 |
|---|
研究代表者 |
松崎 克彦 早稲田大学, 教育・総合科学学術院, 教授 (80222298)
|
|---|
| 研究分担者 |
イェーリッシュ ヨハネス 島根大学, 学術研究院理工学系, 講師 (90741869)
|
|---|
| 研究期間 (年度) |
2016-04-01 – 2020-03-31
|
| キーワード | 双曲幾何学 |
|---|
| 研究実績の概要 |
自由群のケーリーグラフに等長的作用する正規部分群の収束指数と，商グラフ上の離散ラプラシアンのスペクトルの底との関係について引き続き研究した．双曲空間に作用するクライン群の収束指数と双曲多様体上のラプラシアンに関する同様な結果との共通点は，ココンパクトに作用する群の収束指数の半分の値で相転移が起こることである．本研究課題の昨年度までの研究では，自由群のケーリーグラフの辺の長さを変動させた場合に，部分群の収束指数にも依存して定まる重み付きの離散ラプラシアンを考えることにより，そのスペクトルの底との間に成り立つ Grigorchuk の公式の一般化を証明した．本年度はこの結果に関する成果発表（論文を含む）を行った．
自由群のケーリーグラフの辺の長さが変動する場合の正規部分群の収束指数スペクトルについての研究に関連して，正規部分群の収束指数と商グラフの指数増大度がみたす新しい不等式が予想されていたが，これに関する検証の作業が進んだ．この不等式は，ココンパクトな群の収束指数の半分の値で起こる相転移から推論して，商グラフの指数増大度の半分と収束指数との和が，ココンパクトな群の収束指数以上になることを主張する．コンピューター（mathematica）による数値実験を繰り返し，予想を証明するために必要な手順を具体化することができた．
クライン群の錐極限集合のハウスドルフ次元が収束指数と一致することは有名な結果としてよく知られている．測地流のエルーゴード性を弱い意味で定性的に体現する Myrberg 極限集合については，等角不変測度に関する０－１則は錐極限集合の場合と同様であるが，そのハウスドルフ次元に関する問題は残っている．上記を含めて， 錐極限集合とその部分集合である Myrberg 極限集合の差異について，論文にまとめた内容を再検証し，改良の余地を探った．
|
| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
得られた結果を論文としてまとめることができた．この結果は，当初の研究計画で考えていたものからは多少変化しているが，新しい手法を含み，結果自身も評価されているものなので，よい成果が得られたと考える．また，派生する新しい問題にも取り組みはじめることができたので，テーマの発展性という観点からは研究が順調に進んでいると考えられる．
|
| 今後の研究の推進方策 |
自由群のケーリーグラフの辺の長さが変動する場合に，正規部分群の収束指数と商グラフの増大度がみたす新しい不等式について研究をする．コンピューターによる数値実験で予想される結果の証明をめざす．定期的な研究連絡により議論の進展状況を確認しながらすすめる．既に得られた研究成果については，関連する研究者との議論を通じてより本質的な観点からの解釈を行う．
|
| 次年度使用額が生じた理由 |
研究課題の遂行の過程で得られた自由群の正規部分群の収束指数と商グラフの増大度がみたす新しい不等式について，最終年度の研究により証明の見通しが立ったため，計画を変更して１年延長して研究課題を続行する．研究分担者との共同研究のための研究連絡と既に得られた成果の発表のための旅費として使用する予定である．
|
