| 研究課題/領域番号 |
16K13770
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| 研究機関 | 京都大学 |
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研究代表者 |
堤 誉志雄 京都大学, 理学研究科, 教授 (10180027)
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| 研究期間 (年度) |
2016-04-01 – 2019-03-31
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| キーワード | 確率非線形分散型方程式 / ３次分散項を持つ非線形シュレディンガー方程式 / 共鳴周波数 / 初期値問題の適切性 / フーリエ制限法 / ラフパス理論 / グローバル・アトラクター |
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| 研究実績の概要 |
確率論の分野において，Lyons やGubinelli によって導入されたラフパス理論は，確率微分方程式から作られる確率過程の軌道（pathwise solution）を扱うことを目的として開発されたため，偏微分方程式理論や数値シミュレーションとの相性も良い．実際，Hairer は，ラフパス理論と正則性構造理論(regularity structures)を用いて，KPZ 方程式(Kardar-Parisi-Zhang equation)を数学的に厳密に意味づけることに成功した．このような確率偏微分方程式の解釈とHairer の理論により，確率論的かつ数理物理的に意義のある分布が得られたことから，確率論の分野では広く受け入れられることとなった．しかし他方で，非線形偏微分方程式論の観点からは，方程式を満たすことの意味付けはあまりに弱すぎると言わざるを得ない．例えば，Gubinelli が制御されたラフパスを導入したときに，周期境界条件の下でのKdV 方程式の初期値問題への応用を試みたが，非線形分散型方程式に関する先行研究を本質的に改良することはできなかったと考えられている．
そこで昨年度は，非線形項を滑らかな近似解の極限として定義する流儀と，非線形項が何らかの位相で連続となることにより意味付けする流儀を比較研究することを試みた．まず，比較的単純なモデル方程式である３階分散項が付いた非線形シュレディンガー方程式（generalized Schrodinger equation）を研究対象として選び，その初期値問題の適切性を負の指数のソボレフ空間で示すことを研究した．フーリエ制限法を用いて線形分散効果と３次非線形相互作用から生じる共鳴周波数を調べその影響を解析した．またその副産物として，減衰項と外力項が付いた方程式に対し，大域アトラクターの存在を証明することに成功した．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
昨年度の本研究においては，確率非線形分散型方程式を扱う準備として，どの確率非線形波動・分散型方程式を研究対象とするか，と言う問題に取り組んだ．その結果まず，非線形波動・分散型方程式のプロトタイプモデルとして，３次分散項付き非線形シュレディンガー方程式(generalized Schrodinger equation)が確率モデルとして数理物理学的に意義があり，かつ現在までのフーリエ制限法を用いた非線形波動・分散型方程式研究の蓄積も有効であることが判明した．具体的には，その初期値問題の適切性を負の指数のソボレフ空間で示すことを研究し，フーリエ制限法を用いて線形分散効果と３次非線形相互作用から生じる共鳴周波数を調べその影響を解析することがきた．偏微分方程式論の観点からの研究はかなり進んだので，このモデル方程式をターゲットとし，確率論的研究手法とすでに得られた偏微分方程式論的解析による成果を組み合わせることにより，新たな研究段階に入ることができる．これらを考慮すると，まだ初期の目標とした確率非線形分散型方程式の解析には至っていないものの，残り２年間の研究期間で予定通りの研究成果を挙げられるものと予想される．
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| 今後の研究の推進方策 |
昨年度は確率非線形分散型方程式の解析まで至らなかったので，今後の研究においては確率項付きの方程式を研究することを目標とする．大きな枠組みとしては，偏微分方程式論におけるフーリエ制限法と確率論におけるラフパス理論のアイディアを融合させ，確率分散型方程式の新しい解析方法を探ることを目指す．これは，従来無かった研究方向であり，成功すればラフパス理論の確率非線形波動・分散型方程式への応用につながるはずである．具体的には，ラフパス理論は時間変数の滑らかさをHolder空間を用いて測るため，そのままではフーリエ制限法との相性が必ずしも良くない．非線形波動・分散型方程式をHolder空間を使って解析するのは，偏微分方程式論の観点から言って適切ではない．そこで，フーリエ制限ノルムに基づいたラフパス理論の構築が望まれる．これが成功してフーリエ制限法とラフパス理論を組み合わせることが可能となれば，確率非線形分散型方程式の初期値問題の可解性，および十分時間を経た後の解の漸近挙動について新しい知見が得られるものと期待される．さらに，応用数学者の間でも，現在行われている確率非線形分散型方程式に対する数値シミュレーションは，本当に真の解を捉えているのかという疑問が出されており，数学的に厳密な解の存在証明および解の漸近挙動の解析を行うことは，確率非線形分散型方程式に対する，数値シミュレーションの正当性を補強することにも役立つものと期待される．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
平成29年1月に，確率非線形分散型方程式研究の世界的専門家であるAnne de Bouard氏（フランス，エコール・ポリテクニク）を招聘する予定であった．しかし，同氏が1月よりエコール・ポリテクニク応用数学科主任となったため，平成28年度中の来日が不可能となった．そこで，平成29年度中の招へい，もしくは計画を変更し他の外国人研究者を招聘することにした．
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| 次年度使用額の使用計画 |
平成29年9月に，Anne de Bouard氏を招へいするため交渉中である．もし同氏が来日できなくなった場合は，Arnaud Debussche氏（フランス，エコール・ノルマルブルターニュ校）を招へいする予定である．
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