マリアバン解析を用いた新しい高次離散化法

2018 年度 研究成果報告書

• 研究課題/領域番号: 16K13773
• 研究種目: 挑戦的萌芽研究
• 配分区分: 基金
• 研究分野: 数学基礎・応用数学
• 研究機関: 一橋大学
• 研究代表者: 山田 俊皓 一橋大学, 大学院経済学研究科, 准教授 (50754701)
• 研究期間 (年度): 2016-04-01 – 2019-03-31
• キーワード: マリアバン解析 / 確率微分方程式 / 弱近似

研究成果の概要

本研究では、ブラウン運動で駆動する確率微分方程式に対する弱近似法の構成を行い、結果としてブラウン運動の多項式ウエイトによる新しい高次離散化法（マリアバン・モンテカルロ）を得た。また、通常の弱近似の問題だけでなく、偏微分方程式の解の微分に対して高次離散化を行う方法も提案した。さらに副産物としてマルコフ連鎖による新しい近似法を提案し、数理的・数値的に機能することを確認している。これらの一連の研究成果は、数値解析・統計学・ファイナンス分野などの応用数学の主要ジャーナルに掲載された。

自由記述の分野

確率数値解析

研究成果の学術的意義や社会的意義

自然科学・社会科学においてランダムな微分方程式によるモデルは頻繁に現れ、さらにそれらのモデルの対象の平均的な振る舞いや確率計算は明らかにしたい現象を解析する上で本質的に重要である。モデルが単純であれば解析を行うことは簡単であるが、一般にはモデルは複雑になりうる。それは自然科学・社会科学の問題が単純でなく複雑だからである。本研究の成果はこのような問題に寄与しうる。従来のシミュレーション法は収束が遅いが、本研究の方法ではマリアバン解析を用いた補正を加えるので収束が非常に速くなり、また感覚的にも分かりやすい。物理現象の解析、機械学習、金融商品の数値計算やリスク管理など多くの分野への応用が期待される。