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2017 年度 実施状況報告書

非線形放物型偏微分方程式の解の複素特異点とパターン形成の関係

研究課題

研究課題/領域番号 16K13778
研究機関明治大学

研究代表者

二宮 広和  明治大学, 総合数理学部, 専任教授 (90251610)

研究分担者 桂田 祐史  明治大学, 総合数理学部, 専任准教授 (80224484)
池田 幸太  明治大学, 総合数理学部, 専任准教授 (50553369)
小野寺 有紹  東京工業大学, 理学院, 准教授 (70614999)
研究期間 (年度) 2016-04-01 – 2019-03-31
キーワード反応拡散系 / パターンダイナミクス / 爆発問題 / 複素領域
研究実績の概要

本研究課題では,非線形放物型偏微分方程式の解の形状に関する情報を複素領域の特異点の実軸からの距離等の情報から特徴付けることを目的としている.放物型・楕円型偏微分方程式を空間変数を複素領域に拡張すると,そのままでは適切でなくなる.そのため,本研究課題では非線形偏微分方程式を複素領域に拡張する手法を開発し,その複素特異点の位置のダイナミクスとパターン形状の関係に関する研究を行っている.具体的には,以下の3つのテーマについて研究を行っている.(1)反応拡散系の複素領域への拡張および複素特異点とパターン形成の関係,(2)自由境界問題のパターン形成と複素特異点の関係,(3)無限遠からの分岐や爆発問題と複素特異点の関係
まず,テーマ1に関しては,複数回の研究打合せを行い,アレン・カーン方程式のような拡散項と非線形項のみからなる反応拡散系を複素領域への拡張することには成功し,アレン・カーン方程式の特殊解の持つ複素特異性との関係を調べ,その成果をミネソタ大学において口頭発表した.現在,この研究を論文にまとめる作業を行っている.次に,テーマ2の等角写像や特殊関数等を用いた厳密解を特異点の視点から考察し直す研究については,まだあまり進んでいない.最後に,テーマ3の一つである無限遠分岐については,研究は順調に進み,多くの例で起きることが分かってきた.より多くの数理生物モデルに応用できる条件を取り出している段階にあり,現在まとめているところである.この研究が終わった段階で,複素特異点との関係を考察していく.

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

3: やや遅れている

理由

本研究課題では,以下の3つのテーマについて研究を行っている.(1)反応拡散系の複素領域への拡張および複素特異点とパターン形成の関係,(2)自由境界問題のパターン形成と複素特異点の関係,(3)無限遠からの分岐や爆発問題と複素特異点の関係
まず,テーマ1に関しては,複数回の研究打合せを行い,アレン・カーン方程式のような拡散項と非線形項のみからなる反応拡散系を複素領域への拡張することには成功し,複素領域への拡張に関してはすでに成功し,アレン・カーン方程式の特殊解の持つ複素特異性との関係を調べ,その成果をミネソタ大学において口頭発表した.現在,熱方程式の持つ複素特異点の性質について調べており,アレン・カーン方程式の複素特異点との関係を調べているところである.全域解の構成については,フロントを3つや4つもつアレン・カーン方程式の全域解の構成に成功し,現在,論文にまとめた.
テーマ2では,ヘレ・ショウ問題のような自由境界問題を等角写像で写像することによって得られる方程式の複素特異点について調べる予定であるが,現在のところ,まだ手が付けられていない.
テーマ3の無限遠分岐については,研究は順調に進み多くの例で起きることが分かってきた.より多くの数理生物モデルに応用できる条件を取り出している段階にあり,現在まとめているところである.この研究が終わった段階で,複素特異点との関係を考察していく.一般的な爆発問題と複素特異点の関係は,テーマ1との関係で現在研究を進めており,いくつかの例を構成することで状況を把握しようと試みているが,まだよく分かっていないのが現状である.
以上のように2年間でいくつかの成果が得られた.

今後の研究の推進方策

本研究課題では,以下の3つのテーマについて研究を行っている.(1)反応拡散系の複素領域への拡張および複素特異点とパターン形成の関係,(2)自由境界問題のパターン形成と複素特異点の関係,(3)無限遠からの分岐や爆発問題と複素特異点の関係
まず,テーマ1に関しては,熱方程式の持つ複素特異点の性質について調べて,これまでに得られた研究成果を論文にまとめる.これについては比較的早い段階で終わるものと思われる.また,全域解の性質を導き出す研究を進めている.この研究と複素特異点の関係を検討していく.
テーマ2では,ヘレ・ショウ問題のような自由境界問題を等角写像で写像することによって得られる方程式の複素特異点については,まだあまり手が付けられていない状態なので,少し時間がかかると思われるが,このテーマに関して研究打合せを複数回行うことで,研究を進めていく.
テーマ3の無限遠分岐については,より多くの数理生物モデルに応用できる条件を取り出し,論文にまとめる.これと複素特異点との関係を考察していく.一般的な爆発問題と複素特異点の関係は,テーマ1との関係で現在研究を進めており,いくつかの例を構成することで状況を把握しようと試みているが,まだよく分かっていないのが現状である.これを打開すべく具体的な例や数値計算を行うことで,状況の把握に努める.分担者の分野は広がりをもっているため,それぞれの分野への知見を生かして,この問題解決への糸口を見つけていく予定である.1年延長することで,当初の研究計画に近い研究成果を得る予定である.

次年度使用額が生じた理由

昨年度生じた計画変更により,計画が1年ずれ込んだため.

  • 研究成果

    (26件)

すべて 2018 2017 その他

すべて 国際共同研究 (1件) 雑誌論文 (10件) (うち国際共著 3件、 査読あり 10件、 オープンアクセス 1件) 学会発表 (15件) (うち国際学会 12件、 招待講演 15件)

  • [国際共同研究] 国立台湾大学/淡江大学/国立台南大学(台湾)

    • 国名
      その他の国・地域
    • 外国機関名
      国立台湾大学/淡江大学/国立台南大学
    • 他の機関数
      1
  • [雑誌論文] Entire solutions originating from monotone fronts to the Allen-Cahn equation2018

    • 著者名/発表者名
      Chen, Y.-Y., Guo, J.-S., Ninomiya H., and Yao C.-H.
    • 雑誌名

      Physica D: Nonlinear Phenomena

      巻: 378-379 ページ: 1~19

    • DOI

      10.1016/j.physd.2018.04.003

    • 査読あり / 国際共著
  • [雑誌論文] Traveling wave solutions with convex domains for a free boundary problem2017

    • 著者名/発表者名
      H. Monobe and H. Ninomiya
    • 雑誌名

      Discrete and continuous dynamical systems Ser. A

      巻: 37 ページ: 905-914

    • DOI

      10.3934/dcds.2017037

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Existence of rotating spots with spatially dependent feedback in the plane in a wave front interaction model2017

    • 著者名/発表者名
      Y.-Y. Chen, J.-S. Guo and H. Ninomiya
    • 雑誌名

      Journal of Dynamics and Differential Equations

      巻: 29 ページ: 465-483

    • DOI

      10.1007/s10884-016-9541-7

    • 査読あり / 国際共著
  • [雑誌論文] Traveling curved waves in two dimensional excitable media2017

    • 著者名/発表者名
      H. Ninomiya and C.-H. Wu
    • 雑誌名

      SIAM J. Mathematical Analysis

      巻: 49 ページ: 777-817

    • DOI

      10.1137/16M1064040

    • 査読あり / 国際共著
  • [雑誌論文] Reaction, diffusion and non-local interaction2017

    • 著者名/発表者名
      H. Ninomiya, Y. Tanaka and H. Yamamoto
    • 雑誌名

      Journal of Mathematical Biology

      巻: 75 ページ: 1203-1233

    • DOI

      10.1007/s00285-017-1113-x

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Vanishing, moving and immovable interfaces in fast reaction limits2017

    • 著者名/発表者名
      M. Iida, H. Monobe, H. Murakawa and H. Ninomiya
    • 雑誌名

      Journal of Differential Equations

      巻: 263 ページ: 2715-2735

    • DOI

      10.1016/j.jde.2017.04.009

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Mathematical approach to nonlocal interactions using a reaction-diffusion system2017

    • 著者名/発表者名
      Y. Tanaka, H. Yamamoto, and H. Ninomiya
    • 雑誌名

      Development, Growth & Differentiation

      巻: - ページ: 8 pages

    • DOI

      10.1111/dgd.12354

    • 査読あり / オープンアクセス
  • [雑誌論文] Bifurcation structure of a car-following model with nonlinear dependence on the relative velocity2017

    • 著者名/発表者名
      A. Tomoeda, T. Miyaji, Tomoyuki, K. Ikeda
    • 雑誌名

      Transportmetrica A: Transport Science

      巻: 14 ページ: 503--519

    • DOI

      10.1080/23249935.2017.1351007

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Generation of membrane potential beyond the conceptual range of Donnan theory and Goldman-Hodgkin-Katz equation2017

    • 著者名/発表者名
      H. Tamagawa, K.Ikeda
    • 雑誌名

      Journal of Biological Physics

      巻: 43 ページ: 319--340

    • DOI

      10.1007/s10867-017-9454-7

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Remarks on the large time behavior of the L^2-norm of solutions to strongly damped wave equations2017

    • 著者名/発表者名
      Ryo Ikehata and Michiaki Onodera
    • 雑誌名

      Differential Integral Equations

      巻: 30 ページ: 505-520

    • 査読あり
  • [学会発表] Dynamics of solutions of interface-reaction systems2018

    • 著者名/発表者名
      H. Ninomiya
    • 学会等名
      The 3rd International Conference on Dynamics of Differential Equations
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Dynamics of interface-reaction equations2018

    • 著者名/発表者名
      H. Ninomiya
    • 学会等名
      International Conference on Nonlinear Analysis and its Applications
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] 反応拡散方程式の進行波解と全域解2018

    • 著者名/発表者名
      二宮広和
    • 学会等名
      日本数学会
    • 招待講演
  • [学会発表] Quasi-periodic solution in a dynamical system for the motion of a single particle2018

    • 著者名/発表者名
      池田幸太
    • 学会等名
      International Conference on the Dynamics of Differential Equations
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Reaction-diffusion approximations of non-local evolutionary equation and wave equation2017

    • 著者名/発表者名
      H. Ninomiya
    • 学会等名
      International Conference on Elliptic and Parabolic Problems
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Dynamics of waves in excitable media2017

    • 著者名/発表者名
      H. Ninomiya
    • 学会等名
      日本数理生物学会
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Dynamics of waves in excitable media2017

    • 著者名/発表者名
      H. Ninomiya
    • 学会等名
      The 3rd conference on Differential Geometry and Differential equations
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Patterns and complex singularities in reaction-diffusion equations2017

    • 著者名/発表者名
      H. Ninomiya
    • 学会等名
      PDE seminar, University of Minnesota
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Bernoulliの自由境界問題の極限解について2017

    • 著者名/発表者名
      Michiaki Onodera
    • 学会等名
      水戸数学・情報数理研究会2017
    • 招待講演
  • [学会発表] Hyperbolic solutions to Bernoulli's free boundary problem2017

    • 著者名/発表者名
      Michiaki Onodera
    • 学会等名
      Ito Workshop on Partial Differential Equations
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Flow approach to Bernoulli's free boundary problem2017

    • 著者名/発表者名
      Michiaki Onodera
    • 学会等名
      第64回幾何学シンポジウム
    • 招待講演
  • [学会発表] Dynamical approach to an overdetermined problem2017

    • 著者名/発表者名
      Michiaki Onodera
    • 学会等名
      Geometry Seminar
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Hyperbolic solutions to Bernoulli's free boundary problem2017

    • 著者名/発表者名
      Michiaki Onodera
    • 学会等名
      The third Japanese-Spanish workshop on Differential Geometry
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Hyperbolic solutions to Bernoulli's free boundary problem2017

    • 著者名/発表者名
      Michiaki Onodera
    • 学会等名
      Uppsala University - Tokyo Tech Joint Symposium
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Hyperbolic solutions to Bernoulli's free boundary problem2017

    • 著者名/発表者名
      Michiaki Onodera
    • 学会等名
      Seminaire d'Equations aux Derivees Partielles et Applications
    • 国際学会 / 招待講演

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公開日: 2018-12-17   更新日: 2022-02-22  

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