| 研究課題/領域番号 |
16K17557
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| 研究機関 | 群馬大学 |
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研究代表者 |
宮崎 隆史 群馬大学, 大学院理工学府, 助教 (20706725)
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| 研究期間 (年度) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| キーワード | 指数型不定方程式 / 寺井予想 / ディオファントスの組 / 線形回帰数列 |
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| 研究実績の概要 |
まず、ピタゴラス数を含む様な自然数の三つ組みから生じる三項指数型不定方程式の研究を行った。特に、寺井伸浩氏（大分大学）によって提起された未解決問題の、パラメータを二つ持つ様な特殊かつ重要な場合を考察した。この場合には、既にF.Luca氏の研究によって、両パラメータが有限の範囲に収まる場合を考察すればよいことが示され、その明示的な上限評価を報告者が行っていた。本年度では、ある場合分けを行い、そのいずれにおいても、対数一次形式の理論あるいはそのp進版がより効果的に適用されることを用いて、既存の上限評価を随分と改良することが出来た。この成果を京都大学の数理解析研究所で行われた解析的整数論とその周辺にて口頭発表を行い、その論文を学術誌に投稿中である。
また、前年度中に藤田育嗣氏（日本大学）、Mihai Cipu氏（ルーマニアアカデミー数学研究所）と行った、ディオファントスの三つ組の拡張問題に関する共同研究成果が、本年度中に査読付き論文として出版された。本年度は、この研究の類似問題を整数係数１変数多項式環上で考察した。より具体的には、ある二つの二次の線形回帰数列の一致がいつ起きるのかを前述の環上で決定した。これは、ディオファントスの三つ組の拡張問題の前述した環に対する類似を解決した、2004年のA.Dujella氏、C.Fuchs氏の研究成果の一部の拡張とみなすことが出来る。当該研究の論文を学術誌に投稿中である。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
２変数あるいは３変数の指数型ディオファントス方程式について、いくつかの研究成果を得ることが出来た。
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| 今後の研究の推進方策 |
寺井予想の前述した特殊な場合の完全な解決を目指す。特に、連分数論による数値計算法を改良することを考察する。また、寺井予想の専門家であるMihai Cipu氏と意見交換を積極的に行う。また、前述した、二次の線形回帰数列の一致問題を、有理数体等の体上で同様の考察を行い、類似的な成果を得ることを目指し、さらにはそのディオファントスの組の構造研究への応用を模索する。
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