| 研究課題/領域番号 |
16K17560
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| 研究機関 | 東京理科大学 |
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研究代表者 |
松本 雄也 東京理科大学, 理工学部数学科, 助教 (50773628)
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| 研究期間 (年度) |
2016-04-01 – 2023-03-31
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| キーワード | K3曲面 / 群スキーム / Kummer曲面 / 正標数 / 還元 |
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| 研究実績の概要 |
K3曲面の有名な例の一つとしてKummer曲面があり，これはアーベル曲面を-1倍写像（が生成する位数2の群）で割って特異点を解消して得られる曲面をさす．標数が2以外のときのKummer曲面は上記の構成の特異点解消の例外曲線16本が張るNeron-Severi格子の部分格子を用いて特徴づけることができる．一方で標数が2のときは，標数2以外の場合と異なる商特異点が現れ，悪い場合にはKummer曲面はK3曲面にならない．とくに，標数2で超特異なKummer K3曲面は存在しない．しかしながら，Neron-Severi格子が上と同様の部分格子をもつ標数2の超特異K3曲面に対してKummer曲面と類似の位数2の被覆を構成できることを見出した．この射は非分離で，μ_2またはα_2の形になり，また被覆はアーベル曲面と同じ数値的性質をもつ．これらのK3曲面はKummer曲面の拡張だと考えることができる．
標数0のKummer曲面の標数pへの良い還元への応用について述べる．p≠2の場合には，Kummer曲面が良い還元をもつことと，そのガロア表現がよい性質をもつことが同値であることが知られており，証明は対応するアーベル曲面の良い還元を経由するものだった．p=2の場合には上述のようにアーベル曲面の商が必ずしもK3曲面にならないことから，p≠2の場合と同様の結果が成り立つかは不明であった．今回の構成を応用することで，p=2の場合にもそれ以外の場合と同様の結果が成り立つことを概ね証明することができた．論文は投稿に向けて準備中である．
そのほか，これまでの研究成果を論文として投稿し，多くが既に受理された．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
標数2のKummer曲面および標数0からの良い還元に関して満足のいく進展を得た．
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| 今後の研究の推進方策 |
群スキームμ_pやα_pの作用，標数2のKummer曲面に関して今年度までに得た結果を発展させて，虚数乗法をもつK3曲面の正標数還元の性質への応用を探る．K3曲面以外の代数多様体への一般化もあわせて考察する．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
新型コロナウイルス感染症の影響で，国内外に出張することができなかった．感染が終息したら出張を再開する．
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