| 研究課題/領域番号 |
16K17562
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| 研究機関 | 東京大学 |
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研究代表者 |
大島 芳樹 東京大学, カブリ数物連携宇宙研究機構, 特任研究員 (10746936)
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| 研究期間 (年度) |
2016-04-01 – 2019-03-31
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| キーワード | Lie群 / ユニタリ表現 / 誘導表現 / 分岐則 / 余随伴軌道 |
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| 研究実績の概要 |
Lie群の既約ユニタリ表現に関して表現の指標、誘導や制限等の操作と軌道の方法との関連を調べている。
特に、半単純軌道に対応する表現、メタプレクティック群の極小表現(Segal-Shale-Weil表現)および不定値直交群の極小表現の場合に、Harish-Chandra指標のFourier変換と余随伴軌道(半単純軌道または極小ベキ零軌道)との関係式を得た。より正確に述べると、一般に既約認容表現のHarish-Chandra指標のFourier変換は、表現と対応する旗多様体上の同変層の特性サイクルのねじれモーメント写像による像で記述されることが知られているが、そのサイクルを上記の表現の場合に具体的に記述し、軌道の方法で対応する余随伴軌道と関連づけた(半単純軌道の場合はBenjamin Harris氏と共同)。半単純軌道に対応する表現と不定値直交群の極小表現の場合には、指標側のサイクルから余随伴軌道に自然な写像があり、ファイバー束の構造をもつことがわかった。一方、メタプレクティック群の極小表現については、余随伴軌道の閉包(この場合は極小ベキ零軌道と原点の和)に写像があることがわかった。これらの指標についての結果を、実簡約Lie群のユニタリ表現の誘導や制限についての議論に応用したいと考えている。
また、小林による表現の制限の離散分解性と余随伴軌道の射影写像(部分Lie群に関するモーメント写像)の固有性との関係についても調べた。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
ユニタリ表現の誘導や制限の既約表現への分解と、対応する余随伴軌道の幾何との関連を研究するにあたって、知られている表現の分岐則について軌道サイドでの計算を行う計画だったが、2016年度は半単純軌道に対応する表現の指標と余随伴軌道との関係を具体的に記述することができた。知られている表現の分岐則は主にZuckerman加群についての公式だが、半単純軌道に対応するのはより広いクラスの表現であり、ちょうど楕円型軌道の場合がZuckerman加群と対応する。2016年度に得られた式は、半単純軌道に対応する表現と余随伴軌道との間を指標を通して直接的に結びつけるもので、2017年度以降に、誘導や制限と余随伴軌道の間の関係を考えるうえで有用であると考えられる。
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| 今後の研究の推進方策 |
今後は、2016年度に得られた半単純軌道に対応する表現の指標と余随伴軌道との関係を具体的に記述する式を用いて、誘導や制限と余随伴軌道の間の関係を記述したい。そのために文献や研究集会への参加を通して必要な情報収集を行う計画である。また研究集会での講演や論文により、得られた研究成果を発表する。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
2016年度は当初の計画よりも、研究集会での情報収集に比べてインターネットや文献による情報収集が多くなったため、旅費が申請額よりも少なくなった。
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| 次年度使用額の使用計画 |
2017年度は、文献の購入に加えて国内外の研究集会に参加して情報収集を行う予定である。そのための費用を物品費、旅費として使用する。
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