| 研究実績の概要 |
量子変形カレント代数の構造とその表現について研究を行なった。
当初は, 量子変形カレント代数自体がホップ代数の構造を持つことを期待していたが, おそらく, 一般の量子変形カレント代数上に余積は存在しないであろうことが分かった。その代わりに, 量子変形カレント代数は量子カレント代数 (これは量子ループ代数のホップ部分代数) の余イデアル部分代数になっていることを示すことができた。このことにより, 量子変形カレント代数の表現と量子カレント代数の表現に対しテンソル積表現 (量子変形カレント代数の表現となる) を考えることができ, この意味で, 量子変形カレント代数の加群圏は"テンソル圏"の構造を持つ (正確には, 量子カレント代数はホップ代数なので, その加群圏はテンソル圏の構造を持ち, 量子変形カレント代数の加群圏は量子カレント代数の加群圏(テンソル圏)上の加群圏となる)。
この"テンソル圏"の構造を用いて, 量子変形カレント代数の有限次元既約表現の分類も得ることができた。さらに, その過程で, 有限次元既約表現を特徴付ける最高ウェイトを対称多項式を用いて具体的に記述することができた。量子ループ代数の場合, 対応する最高ウェイトを母関数を用いて表すことはよく知られていることであり, その部分に関しては, 今回得た対称多項式を用いた具体的な記述と母関数を用いた記述とは本質的な違いはないが, 対称多項式を使って具体的に表示することによって, 有限次元既約表現の性質が見やすくなっている部分もあり, 今後の研究に役立つと考えている。
また, 上記の量子変形カレント代数の構造を調べる過程で, 量子変形カレント代数がシフト量子アフィン代数の部分代数となっていることを示すことができた。シフト量子アフィン代数も定義されたばかりの代数で, その表現論との関係が分かったことも１つの成果である。
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