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2017 年度 実施状況報告書

スーパー量子群と数理物理への応用

研究課題

研究課題/領域番号 16K17567
研究機関名古屋大学

研究代表者

松本 拓也  名古屋大学, 高等研究院(多元), 特任助教 (50748803)

研究期間 (年度) 2016-04-01 – 2019-03-31
キーワード2次元共形場理論 / 量子群 / ジャック多項式
研究実績の概要

今年度も、正の有理レベルにおけるA_1型の2次元共形場理論に関する共同研究を継続して行った。これは、1984年のBelavine-Polyakov-Zamolodchikov(BPZ)に始まる2次元共形場理論の典型的な模型である「ミニマル模型」の拡張であり、中心電荷は有理数にその値をとっている。この場合、A_1型であっても拡大W代数と呼ばれる、非常に大きな対称性が現れることが知られている。一方で、「Kazhdan-Lusztig対応」によると、この拡大W代数の加群圏は、qが1の冪根におけるある量子群のそれと、アーベル圏として同値になることが期待される。本研究の目的は、共形場理論側から出発し、量子群側に現れるものを同定し、この対応関係を確立することにある。
変数qが1の冪根の場合、LusztigによるLarge量子群が構成できることが、知られている。よって、これに対応するVirasoro準同型写像を共形場理論側で自然な形で構成することが、本年度の目標であった。現状では、この演算子は、Virasoroフォック加群を、Virasoro socle列に関する単純加群に分解することで、ある種のHodge理論におけるラプラシアンに相当するものとして、定義できることが分かった。そのためには、ラプラシアンの構成要素である「微分」演算子を、まず構成する必要がある。現状では、この「微分」演算子が作用する空間として、log型の共形場理論へ理論を拡張する必要があり、その理論的整備を行っているところである。

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

3: やや遅れている

理由

本年度中に、拡大W代数とそれに微分として作用するsl_2作用を、明示的に証明し論文にまとめるつもりであったが、まだ論文は完成していない。これは、sl_2代数の演算子を、Hodge理論のラプラシアンのような複合演算子ではなく、直接定義しようとしていた方針に無理があったこと、またHodge理論におけるderivationが作用する空間を得るためには、log型の共形場理論へ移行する必要があったこと、などを見落としていた点が挙げられる。しかし、これらの問題とその解決策が明らかになってきたことは、進展であり、来年の出来るだけ早い段階で、上記の結果を論文の形にまとめたいと考えている。

今後の研究の推進方策

今後の目標としては、正の有理レベルにおけるA_1型の2次元共形場理論において、log型の拡張を考え、そこで得られた射影加群のVirasoro加群としてのSocle列に関する分解を書き下すことが重要である。この時、L[0]固有空間としては、Jordanブロックが現れる。そして、この射影加群の上に作用するVirasoro準同型写像から、拡大W代数に対するsl_2作用を明示的に構成する事が、次の目的である。

  • 研究成果

    (2件)

すべて 2017

すべて 学会発表 (2件) (うち国際学会 1件)

  • [学会発表] Screening operators for the lattice VOA of type A_1 at positive rational level2017

    • 著者名/発表者名
      松本拓也
    • 学会等名
      "Quantum Theory and Symmetries" (QTS10) and "Lie Theory and Its Applications in Physics" (LT12)
    • 国際学会
  • [学会発表] Screening operators for the conformal field theory on P^1 at positive rational level2017

    • 著者名/発表者名
      松本拓也
    • 学会等名
      日本物理学会2017年秋季大会

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公開日: 2018-12-17  

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