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2017 年度 実施状況報告書

極小複体による幾何的対象の解釈と数論的応用

研究課題

研究課題/領域番号 16K17572
研究機関京都大学

研究代表者

石塚 裕大  京都大学, 理学研究科, 特定助教 (50761136)

研究期間 (年度) 2016-04-01 – 2020-03-31
キーワード行列式表示 / 指数和の計算 / 平面曲線 / ヤコビ多様体 / 法ガロア表現 / Fermatの四次曲線 / Kleinの四次曲線
研究実績の概要

・昨年度に遂行した、谷口隆氏(神戸大学)との共同研究であった有限体上の概均質ベクトル空間の軌道の特性関数に関する指数和に引き続き、概均質ベクトル空間の一般化である余正則空間での計算を行い、部分的な結果を得た。具体的には二元四次形式の空間を対象としたもので、概均質ベクトル空間の手法に加え、cross-ratio という不変量を用いることで、部分空間と表現の軌道の交わりの個数をいくつかの場合で決定している。これは谷口隆氏、Frank Thorne 氏(サウスカロライナ大学)、Stanley Yao Xiao 氏(オックスフォード大学)との共同研究である。
・これまでの平面三次曲線の行列式表示についての計算アルゴリズムに続く形で、平面四次曲線での具体的計算を行った。特に Klein の四次曲線や Fermat の四次曲線の線形行列式表示の分類を完遂し、Singular や Sage 等の計算ソフトの助けを借りて、それぞれの同値類の代表元を求めた。特に対称性のある行列式表示については、昨年度の平面三次曲線についてのアルゴリズムを応用している。
合わせて、Fermat の四次曲線のヤコビ多様体の 4-torsion を決定し、4 を法とする法 Galois 表現の具体的表示を得た。系として Fermat の四次曲線のヤコビ多様体の有理数体上の有理点を決定している。この系については古典的に Faddeev らの結果が知られていたが、法 Galois 表現の決定は、それを補完および拡張した結果となっている。これは大下達也氏(愛媛大学)と伊藤哲史氏(京都大学)二名との共同研究である。

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

極小複体を数論への応用する際に必要となるであろう技術や概念についての理解が大きく進んだため。また関連する他の問題が多く明らかになったため。

今後の研究の推進方策

まず、昨年度に引き続き、伊藤哲史氏らとの共同研究で、四次曲線の行列式表示についての局所大域原理などの今挙がっている問題にアプローチする。また、四次曲線の二次形式成分の対称行列式表示、平面3次曲線のひねった対称性をもつ対称行列式表示、射影直線2つの直積に埋め込まれた種数1の曲線についての対称性のある行列式表示などについても研究をすすめる。

次年度使用額が生じた理由

研究費を能率的に使用したこと、および今年度の研究集会のスケジュールを見て今年度に用いたほうが良いと判断したため。

  • 研究成果

    (7件)

すべて 2018 2017 その他

すべて 国際共同研究 (2件) 学会発表 (4件) (うち国際学会 1件、 招待講演 3件) 学会・シンポジウム開催 (1件)

  • [国際共同研究] University of South Carolina(米国)

    • 国名
      米国
    • 外国機関名
      University of South Carolina
  • [国際共同研究] University of Oxford(英国)

    • 国名
      英国
    • 外国機関名
      University of Oxford
  • [学会発表] 平面4次曲線の線形行列式表示を計算するアルゴリズムについて2018

    • 著者名/発表者名
      大下達也
    • 学会等名
      日本応用数理学会2018年研究部会連合発表会 「数論アルゴリズムとその応用」(JANT)セッション
  • [学会発表] Computation on linear determinantal representations2017

    • 著者名/発表者名
      石塚裕大
    • 学会等名
      神戸整数論集会2017
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Arithmetic of rotationally symmetric determinantal representations2017

    • 著者名/発表者名
      Yasuhiro Ishitsuka
    • 学会等名
      Arithmetic Geometry and Related Topics
    • 招待講演
  • [学会発表] 三次曲線の回転対称な行列式表示について2017

    • 著者名/発表者名
      石塚裕大
    • 学会等名
      第16回北陸数論研究集会
    • 招待講演
  • [学会・シンポジウム開催] 神戸整数論集会2017(Kobe Number Theory Workshop 2017)2017

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公開日: 2018-12-17   更新日: 2022-02-22  

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