| 研究実績の概要 |
本研究課題の目的は、まず数論的不変式論における幾何的対象や代数的対象と線形表現の軌道の対応の系統的な一般化、数論な応用である。本年度は、主に数論的応用についての進展があった。具体的には以下の二点である。
・昨年度の平面四次曲線の研究に続く形で、平面四次曲線にまつわるいくつかの局所大域性の問題を否定的に解決し、反例を構成した。具体的な対象は、Jacobi 多様体の 2-torsion (あるいはそれに等価な Steiner complex) , 双接線, および対称行列式表示である。それぞれの対象について、実数体、p進体では存在するが、有理数体上では存在しない平面四次曲線の例を構成した。この構成法は代数体や多くの函数体についても通用する。また、対称行列式表示については、以前に伊藤哲史氏との共同研究の結果の改善になっている（伊藤哲史氏（京都大学）、大下達也氏（愛媛大学）、谷口隆氏（神戸大学）、内田幸寛（首都大学東京）との共同研究）。この研究実績は、研究計画で記述した数論的な応用例であると解釈でき、予想した以上の形で結果を出すことができた。
・これの派生として、平面三次曲線の変曲点の存在について局所大域性を調べた。この場合は局所的に存在すれば有理数体でも存在するというだけでなく、 Dirichlet 密度がある割合以上の有限素点で局所的に変曲点が存在すれば十分ということが判明した（伊藤哲史氏との共同研究）。同様の主張を、楕円曲線の tosrion についても証明することができた。
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