極小複体による幾何的対象の解釈と数論的応用

2019 年度 研究成果報告書

• 研究課題/領域番号: 16K17572
• 研究種目: 若手研究(B)
• 配分区分: 基金
• 研究分野: 代数学
• 研究機関: 京都大学
• 研究代表者: 石塚 裕大 京都大学, 理学研究科, 特定助教 (50761136)
• 研究期間 (年度): 2016-04-01 – 2020-03-31
• キーワード: 数論的不変式論 / 行列式表示 / 平面曲線 / 局所大域性 / 軌道指数和 / ヤコビ多様体 / フェルマー曲線

研究成果の概要

数論的対象と線形表現の軌道について、平面三次曲線の回転対称な線形行列式表示についての数論幾何的解釈を行い、平均的な振る舞いを導出した。また平面曲線や空間の古典的な代数幾何に現れる対象について、数論的な観点から研究を行い、多くの結果を得た。フェルマー四次曲線の四等分点へのガロア作用、双接線などの存在に関する局所大域性が成り立たない平面四次曲線の構成および平面三次曲線の変曲点についての強い局所大域性などである。関連する研究として、余正則空間の軌道指数和の決定を行った。

自由記述の分野

数論幾何学

研究成果の学術的意義や社会的意義

新規に構成した対応と以前の類似の対応を比較すると、数論的不変式論の手法では、Jacobi多様体の有理点とPicard群の差異のような、微妙かつ重要な差を表すことができることを示唆している。また周辺の問題を研究することで、古典的な代数幾何に現れる対象のもつ数論的な側面が明らかになったほか、それらの研究での数式処理システムの重要性を再確認できる結果になった。軌道指数和についても、BhargavaとHoの種数1の曲線と軌道との対応を利用することが必要になったほか、古典的に見いだされていた不変式の解釈も予期せず用いる形になり、数論的不変式論において古典論の重要性を再確認できるものとなった。