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2018 年度 実施状況報告書

アフィン量子群のレベル・ゼロ表現論の幾何学的・組合せ論的研究

研究課題

研究課題/領域番号 16K17577
研究機関群馬大学

研究代表者

石井 基裕  群馬大学, 教育学部, 准教授 (00732463)

研究期間 (年度) 2016-04-01 – 2020-03-31
キーワードアフィン量子群 / 端ウェイト加群 / アフィン建物 / 半無限Bruhat半順序
研究実績の概要

アフィン量子群(アフィンLie環)のレベル・ゼロ表現論における幾何学的佐武対応の類似を研究するための試みとして、アフィンBott-Samelson多様体に関する研究と半無限Young盤に関する研究とを行った。
アフィンBott-Samelson多様体のコホモロジー群にアフィンLie環のレベル・ゼロ表現の構造を定めることが目標である。そのためには、アフィンGrassmann多様体における放物型縮射に対応する操作をアフィン建物(及びアフィンBott-Samelson多様体)において導入することが重要なステップとなる。この新たな操作に対する一つの定式化を与えることはできたが、それに対する性質の解明がまだ十分にできておらず、その応用には至っていない。
半無限Young盤とは、A型アフィン量子群のレベル・ゼロ端ウェイト加群の結晶基底に対する半無限Lakshmibai-Seshadriパス模型に対応するYoung盤の類似物として、昨年度に導入した組合せ論的対象である。これは、A型アフィン量子群のレベル・ゼロ基本ウェイトを端ウェイトとする端ウェイト加群のテンソル積への端ウェイト加群の自然な埋め込みが誘導するq=0における射(を適切に変形したもの)の像として定義される。本年度は、半無限Young盤のなす柏原結晶における柏原作用素の具体的な記述を与えた。また、半無限Young盤に対する半無限Bruhat半順序を利用した特徴付けに関する部分的な結果を得た。

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

3: やや遅れている

理由

アフィンBott-Samelson多様体のコホモロジー群へのアフィンLie環の作用(特に、0番目のChevalley生成元の作用)の記述や、半無限Young盤に対するRobinson-Schensted-Knuth対応の類似の定式化などの課題が未解決であるため。

今後の研究の推進方策

アフィン建物(及びアフィンBott-Samelson多様体)に対する放物型縮射の性質を調べ、その応用としてアフィンBott-Samelson多様体のコホモロジー群への0番目のChevalley生成元の作用の記述を与える。
レベル・ゼロ基本ウェイトを端ウェイトとする端ウェイト加群のテンソル積への自然な埋め込みが誘導するq=0における射(の適切な変形)の、柏原結晶射としての性質を調べ、その応用として一般の半無限Young盤に対する特徴付けを与える。同様の課題を他の古典型アフィンLie環の設定にまで拡張して考察するとともに、より一般のテンソル積への埋め込みについて、その像の記述(特徴付け)を与える。

次年度使用額が生じた理由

研究を進めていく上で必要に応じて研究費を執行したため当初の見込み額と執行額とは異なったが、研究計画に変更はなく、前年度の研究費も含め、当初予定通りの計画を進めていく。

  • 研究成果

    (3件)

すべて 2019 2018

すべて 雑誌論文 (1件) 学会発表 (2件) (うち招待講演 1件)

  • [雑誌論文] Bott-Samelson多様体と量子ループ代数の組合せ論的表現論2019

    • 著者名/発表者名
      石井基裕
    • 雑誌名

      第30回有限群論草津セミナー報告集

      巻: - ページ: 43-49

  • [学会発表] 半無限ヤング盤の組合せ論について2019

    • 著者名/発表者名
      石井基裕
    • 学会等名
      室蘭工業大学数理科学談話会
    • 招待講演
  • [学会発表] Bott-Samelson多様体と量子ループ代数の組合せ論的表現論2018

    • 著者名/発表者名
      石井基裕
    • 学会等名
      第30回有限群論草津セミナー

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公開日: 2019-12-27  

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