グラスマン多様体のK理論シューベルト計算

2017 年度 実施状況報告書

• 研究課題/領域番号: 16K17584
• 研究機関: 岡山理科大学
• 研究代表者: 松村 朝雄 岡山理科大学, 理学部, 講師 (80755223)
• 研究期間 (年度): 2016-04-01 – 2020-03-31
• キーワード: K理論 / 代数的コボルディズム / シューベルト類 / 行列式公式 / タブロー公式 / Schur多項式 / Grothendieck多項式

研究実績の概要

一昨年執筆した以下の３本の論文のうち、[1]が雑誌に掲載された。他[2][3]は引き続き投稿中である。上記の論文に加えて、
[4] A tableaux formula for double Grothendieck polynomials for 321 avoiding permutations
[5] Symplectic and odd orthogonal Pfaffian formulas for algebraic cobordism , with Thomas Hudson
を執筆した。[4]は、[3]の結果の応用で、321 avoidingの同変シューベルト類のタブロー公式を証明した。[5]は、問題B4に関連して、[2]の結果をtype B/Cの非極大グラスマンに拡張したものである。

現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

前年の問題B2, B3について得られた結果は
Degeneracy Loci Classes in K-theory - Determinantal and Pfaffian Formula -, with Thomas Hudson, Takeshi Ikeda, and Hiroshi Naruse, Adv. Math. 320 (2017), 115-156. 19
として、雑誌に掲載された。問題B4においては、typeAの結果は投稿中([2])であり、type B/Cにおいても解決され[3]、投稿中である。

その他、当初は考えていなかった代数的組み合わせ論における応用的な結果が得られたが、問題A群のシューベルト係数を求める問題は、未だ解決にはいたっていない。

今後の研究の推進方策

本年度は、古典型のグラスマンの極限として、無限グラスマンを調べることにより、より広い視点からシューベルト類の性質を理解できることがわかってきた。一方で、無限グラスマンはアフィングラスマンのシューベルトカルキュラスとも関係が深い。韓国とアメリカの研究者の助けを得て、その見地からの課題を今後は調べて行きたいと思う。B2, B3のようなシューベルト類の良い表示を求める問題を無限グラスマンの視点から調べていくこと、またA群の問題も、無限グラスマンのシューベルト係数を調べていくことも課題として取り組んでいく。具体的には、無限グラスマン(type C)のホモロジーのPieri規則や、Pfaffian公式などを求める問題を、これまでの技術の応用として取り組む。

次年度使用額が生じた理由

(理由) 初年度に研究用のPCを買う予定てあったか、大学の事情により間に合っていたのて、来年度に予算をまわした。
(使用計画) 来年度には、初年度買う予定たったPCを購入したいと思っている。

研究成果

• [国際共同研究] UNIVERSITY OF WUPPERTAL(Germany)
  • 国名: ドイツ
  • 外国機関名: UNIVERSITY OF WUPPERTAL
• [雑誌論文] Vexillary degeneracy loci classes in K-theory and algebraic cobordism (2018)
  • 著者名/発表者名: Hudson Thomas、Matsumura Tomoo
  • 雑誌名: European Journal of Combinatorics 巻: 70 ページ: 190～201
  • DOI: https://doi.org/10.1016/j.ejc.2018.01.001
  • 査読あり / 国際共著
• [雑誌論文] Kempf-Laksov Schubert classes for even infinitesimal cohomology theories, (2018)
  • 著者名/発表者名: Thomas Hudson, Tomoo Matsumura
  • 雑誌名: Schubert Varieties, Equivariant cohomology and Characteristic classes, IMPANGA15 巻: 1 ページ: 127, 151
  • 査読あり / 国際共著
• [雑誌論文] Degeneracy loci classes in K -theory ? determinantal and Pfaffian formula (2017)
  • 著者名/発表者名: Hudson Thomas、Ikeda Takeshi、Matsumura Tomoo、Naruse Hiroshi
  • 雑誌名: Advances in Mathematics 巻: 320 ページ: 115～156
  • DOI: https://doi.org/10.1016/j.aim.2017.08.038
  • 査読あり / 国際共著
• [雑誌論文] An algebraic proof of determinant formulas of Grothendieck polynomials (2017)
  • 著者名/発表者名: Tomoo Matsumura
  • 雑誌名: Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci. 巻: 93 ページ: 82, 85
  • 査読あり
• [学会発表] Determinant formulas in Schubert calculus (2017)
  • 著者名/発表者名: Tomoo Matsumura
  • 学会等名: International Festival in Schubert Calculus
  • 国際学会 / 招待講演