| 研究実績の概要 |
G を Lie 群とし, X を G が推移的に作用する多様体(等質空間)とする.
本研究の目的は, (G,X)-多様体と呼ばれる種類の多様体をたくさん構成することである. (G,X)-多様体には X 上の G-不変な局所構造が移植されるため, 豊富な幾何構造を持つ多様体が得られることになる. (G,X)-多様体の構成にあたり有用な方法の一つは 「G の部分 Lie 群 L であって X に固有に作用するものを構成する」というものである. 本研究では特に G が半単純 Lie 群であり, X が擬リーマン対称空間であるような場合において, 上記のような L の構成についての研究を行っている. 報告者の以前の研究により, L が SL(2,R) と局所同型であるような場合においては, そのような L の分類や構成についての結果が知られていた.
本研究のテーマはこのような結果を L が SO(n,1) や SU(n,1) と局所同型であるような場合について一般化することであった.
当該年度の研究により, G が real rank 2 という設定で, X に余コンパクトかつ固有に作用するような簡約型な L の分類が得られた (論文準備中).
またこの結果の部分多様体論的な考察(リーマン対称空間における全測地的部分多様体論への応用)も併せて進めている.
これらの結果は, 複素半単純リー環論ではよく知られている Dynkin index の理論を, 実半単純リー環に部分的に拡張して得られたものである,
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
本研究の遂行にあたり, G が real rank 2 という設定は, 最も重要な例を提供するはずである. 当該年度の研究においては, このような状況において, 擬リーマン対称空間 G/H 上に固有な作用を持つ簡約リー群についての情報が多く得られた.
特に Dynkin index という指標が本研究において重要な意味をもつことが分かってきた. これにより今後の研究が進展すると期待している.
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