| 研究実績の概要 |
G を Lie 群とし, X を G が推移的に作用する多様体(等質空間)とする.本研究の目的は, (G,X)-多様体と呼ばれる種類の多様体をたくさん構成することである. (G,X)-多様体には X 上の G-不変な局所構造が移植されるため, 豊富な幾何構造を持つ多様体が得られることになる. (G,X)-多様体の構成にあたり有用な方法の一つは 「G の部分 Lie 群 L であって X に固有に作用するものを構成する」というものである.
本研究では特に G が半単純 Lie 群であり, X が擬リーマン対称空間であるような場合において, 上記のような L の構成についての研究を行っている. 報告者の以前の研究により, L が SL(2,R) と局所同型であるような場合においては, そのような L の分類や構成についての結果が知られていた.本研究のテーマはこのような結果を L が SO(n,1) や SU(n,1) と局所同型であるような場合について一般化することであった.
当該年度の研究により, G が例外型と呼ばれるクラスのリー群という設定において, X に余コンパクトかつ固有に作用するような簡約型な L が存在しないことの証明に成功した (論文準備中).
またこの結果の部分多様体論的な考察(リーマン対称空間における全測地的部分多様体論への応用)も併せて進めている.これらの結果は, 複素半単純リー環論ではよく知られている Dynkin index の理論を, 実半単純リー環に部分的に拡張して得られたものである,
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| 今後の研究の推進方策 |
当該年度までの研究において, Dynkin index という指標が本研究において重要な役割を果たすことが分かってきた.
Dynkin index に理論には未整備な点も多く, まずはこの理論の整備を行うべきであると考えている.
この理論を用いて G が real rank 2 の場合には本研究は大きく進展している.
今後は理論の整備と並行して, より複雑なケースの考察も行いたい.
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