| 研究実績の概要 |
G を Lie 群とし, X を G が推移的に作用する多様体(等質空間)とする.本研究の目的は, (G,X)-多様体と呼ばれる種類の多様体をたくさん構成することである.
(G,X)-多様体には X 上の G-不変な局所構造が移植されるため, 豊富な幾何構造を持つ多様体が得られることになる. (G,X)-多様体の構成にあたり有用な方法の一つは 「G の部分 Lie 群 L であって X に固有に作用するものを構成する」というものである.
本研究では特に G が半単純 Lie 群であり, X が擬リーマン対称空間であるような場合において, 上記のような L の構成についての研究を行った. 報告者の以前の研究により, L が SL(2,R) と局所同型であるような場合においては, そのような L の分類や構成についての結果が知られていた.本研究のテーマはこのような結果を L が SO(n,1) や SU(n,1) と局所同型であるような場合について一般化することであった.
このテーマについての研究方針としては Lie 代数の埋め込みに関するよい不変量を準備するということが重要である. そのような不変量の中でも Dynkin index と呼ばれるものは重要である. Dynkin index は代数的に定義される不変量であるが, 当該年度の研究において, Dynkin index の微分幾何学的な側面の理論整備が行われ(論文準備中), この研究テーマへの応用について研究を進めているところである. また昨年度までの研究と併せて, 特に G が例外型の場合には L 作用の分類が進んでいる(論文準備中).
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