| 研究実績の概要 |
Katzarkov, Lupercio, Meersseman, Verjovskyらによってnoncommutative toric varietyが導入された. 彼らによる定義は, ある組み合わせ論的なデータを用いて複素多様体とその上の葉層構造を構成し, その葉空間を微分空間として理解したものであり, 外在的な定義だった.
過去の研究において, 多様体上の極大なトーラス作用の概念を導入し, コンパクトな複素多様体であって極大なトーラス作用を許容するものの完全な分類が得られていた. また前年度までの研究において, トーラス作用で不変な葉層構造, 横断ケーラー構造とモーメント写像を統一的に扱い, 複素多様体にはその複素構造だけから定まる特別な葉層構造 (canonical foliation) があり, それがモーメント写像を持つような横断ケーラー構造を持つ葉層構造の下界であることや, モーメント写像の像は凸多面体であること, すなわちシンプレクティック幾何におけるAtiyah, Guillemin-Stanbergのconvexity theoremの類似が成り立つことを示していた. さらに極大なトーラス作用付きの複素多様体に, canonical foliation を入れたものは, Katzarkov, Lupercio, Meersseman, Verjovskyらのnoncommutative toric varityを完全に包括することがわかっていた.
当該年度では, 極大トーラス作用付きの複素多様体がcanonical foliationに関して横断ケーラー構造を持つならばKatzarkov, Lupercio, Meersseman, Verjovskyらのnoncommutative toric varietyと横断同値であることがわかった. 言い換えればnoncommutative toric varietyの内在的な定義を得ることができた. またこれらがある組み合わせ論的な対象から, トーラス作用付きの葉層構造付きの複素多様体が, 横断的に同値なものを除いて１つ定まることが得られた.
|
