| 研究課題/領域番号 |
16K17598
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| 研究機関 | 慶應義塾大学 |
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研究代表者 |
服部 広大 慶應義塾大学, 理工学部(矢上), 専任講師 (30586087)
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| 研究期間 (年度) |
2016-04-01 – 2019-03-31
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| キーワード | リッチ曲率 / 無限遠点における接錐 / グロモフ・ハウスドルフ収束 |
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| 研究実績の概要 |
本年度は、非コンパクトで完備なリッチ平坦多様体の無限遠点における接錐を研究した。一般に、リッチ曲率非負の完備リーマン多様体で、体積の増大度がユークリッド的であるようなものの無限遠点における接錐は、ある有界な距離空間の錐となることが知られている。この錐の、頂点からの距離が1となる点の全体がなす有界な距離空間を、切断面という。一般に無限遠点の接錐は一意に定まるとは限らないため、切断面として現れる距離空間も一つには定まらない。PerelmanとColding-Naberは、切断面が一意に定まらないようなリッチ曲率非負の完備リーマン多様体の例を構成している。
無限遠点における接錐を調べることで、元のリーマン多様体の構造がわかることがある。例えばY.Dingは、無限遠点における接錐の切断面におけるラプラシアンのスペクトルを調べることで、ある種のリッチ曲率非負の完備リーマン多様体上の、多項式増大度をもつ非自明な調和関数の非存在定理を示した。しかし、一般に切断面は滑らかなリーマン多様体になるとは限らないので、リーマン多様体を含むさらに広いクラスに対して定義されたラプラシアンの固有値を調べる必要がある。また、これを一般のベクトル束上の接続ラプラシアンに対して拡張することは重要な問題である。
本年度の研究ではまず、滑らかな閉リーマン多様体X上のベクトル束に対するラプラシアンの固有値問題について考察した。ただし、ベクトル束は主束Pと構造群Gの直交表現Vから得られるものとする。P上には、Gの作用と接続の構造が与えられており、これらの構造を尊重するようなリーマン計量を考えることにより、その計量に対する通常のラプラシアンと、ベクトル束上の接続ラプラシアンとの関係が綺麗に記述できることが判明した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
本年度の研究ではまず、滑らかな閉リーマン多様体X上のベクトル束に対するラプラシアンの固有値問題について考えた。ただし、ベクトル束はコンパクトなリー群Gを構造群とするものとする。この時ベクトル束は、ある主G束PとGの直交表現Vから得られる。また、ベクトル束の切断に対する共変微分は、Pの水平分布と1対1に対応する。この時、P上のG不変なリーマン計量であって、PからXへの商写像がリーマン沈め込みとなり、各ファイバーが全測地的で両側不変計量と等長になり、水平成分とファイバー方向が直交するようなものが存在する。以下、この計量をhとおく。本年度の研究では、ベクトル束上の接続ラプラシアンと(P,h)に対するラプラシアンの関係を記述した。
計量hに対するラプラシアンは、Pの水平成分と垂直成分に分解される。このとき水平成分は接続ラプラシアンと本質的に等価であることがわかった。垂直成分については、表現Vが既約ならば、G上の両側不変計量と表現Vから定まる定数となることが、シューアの補題によって証明できた。以上の結果から、接続ラプラシアンに対する固有空間分解を求めるためには、hに対する通常のラプラシアンに対する固有空間分解を求め、さらにそれをGの表現とみなした時の既約表現分解を求めればよいことがわかり、ベクトル束上の接続ラプラシアンの解析に、通常のラプラシアンに関する既存の研究を適用する土台を整えることが出来たので、順調に研究が進展していると判断している。
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| 今後の研究の推進方策 |
Cheeger-Coldingは、リッチ曲率が下に有界で、直径が上に有界な閉リーマン多様体の列のグロモフ・ハウスドルフ極限として現れる測度距離空間に対してラプラシアンを定義し、その第k固有値を与える関数が、グロモフ・ハウスドルフ位相について連続であることを示した。今後の目標は、ベクトル束上の接続ラプラシアンの概念を、もう少し広いクラスの測度距離空間に対して一般化し、固有値の連続性について調べることである。もしも連続性が証明されれば、２つのベクトル束がある意味で「近い」ときに、それらの接続ラプラシアンの固有値も「近い」ことが証明されると期待できる。そのためには、主束の概念を一般の測度距離空間に拡張する必要があるが、その拡張の仕方については本年度の結果により、方向性が定まっている。なぜなら、本年度に研究した主束上の計量は、底空間への自然なリーマン沈め込みを持ち、ファイバーが全測地的で、両側不変計量に等長なので、この計量を距離空間の言葉に置き換えれば良いからである。具体的には、次のような距離空間(P,d)を考えれば良い。まずPは等長的なG-作用を持ち、各G-軌道は両側不変計量と等長となる。さらに、各G-軌道内の測地線は、P内の測地線でもある。このように、リーマン多様体上の主G束の概念は、距離空間上に自然に拡張される。次に、P上にラプラシアンが定義され、Gによる作用が距離と測度の両方を保つならば、Gは固有空間に自然に作用することがわかる。従って上記のような性質を持つ測度距離空間の列が、作用も含めて然るべき意味で収束している状況を考えることが今後の研究方針となる。そのような状況で固有関数の列の収束を論じる。群作用を考慮に入れない場合の固有関数の収束は、Cheeger-Coldingによってすでに得られているので、その手法を参考にしてG-同変版の固有関数の収束を議論する。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
（理由）
研究集会での研究発表のための旅費を確保していたが、当該年度の前半においては研究が進展の途上であったため、発表までに至らず、年度前半の研究発表を見送った。そのため、研究発表のための出張が当初の予定よりも減少し、次年度使用額が生じた。
（使用計画）
研究上必要となる知識を習得し、最新の研究の動向を知るために、カラビ・ヤウ多様体に関する専門書籍を購入する。また、その他記録媒体購入のため、消耗品費を計上している。研究補助として、データ解析等の作業を依頼するための謝金を計上している。カラビ・ヤウ多様体の研究の情報収集と研究討議のため、また研究成果の発表のため国内および国外の研究集会に参加するための旅費を計上している。
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