| 研究課題/領域番号 |
16K17598
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| 研究機関 | 慶應義塾大学 |
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研究代表者 |
服部 広大 慶應義塾大学, 理工学部(矢上), 准教授 (30586087)
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| 研究期間 (年度) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| キーワード | 主束 / 接続ラプラシアン / ヤン・ミルズ接続 / 測度付きグロモフ・ハウスドルフ収束 / リッチ曲率 |
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| 研究実績の概要 |
2018年度は、カラビ・ヤウ多様体全体のなす空間の距離構造について研究した。カラビ・ヤウ多様体は、リッチ平坦なケーラー計量を持つ複素多様体であり、自然にリッチ平坦なリーマン多様体とみなすことが出来る。リッチ曲率が下に有界なn次元リーマン多様体全体のなす空間には、グロモフ・ハウスドルフ位相と呼ばれる距離位相が入り、その位相に関してプレコンパクトであることが知られている。また、その極限は距離空間とみなされる。従って、カラビ・ヤウ多様体全体のなす空間の位相としてグロモフ・ハウスドルフ位相を考えることは自然である。
一方で、カラビ・ヤウ多様体は単なるリーマン多様体ではなく、さらに豊かな幾何構造を許容する多様体であり、そのような幾何構造を尊重するような位相を導入するのは自然な発想である。研究代表者は、接続を持った主G束のなす全体の空間に、深谷賢治氏と山口孝男氏によって導入されたG同変版のグロモフ・ハウスドルフ位相を入れることによって、幾何構造を持った多様体の収束を扱う枠組みを導入した。そして、主G束に同伴するベクトル束上の接続ラプラシアンに対して、固有値がG同変版の測度付きグロモフ・ハウスドルフ位相に関して連続的に振舞うことを証明した。ただし、この結果は加須栄篤氏によって研究されたベクトル束上の接続ラプラシアンの連続性定理と、同氏によって研究されたスペクトル距離とグロモフ・ハウスドルフ距離との関係性を組み合わせることによっても証明可能である。
さらに、本年度の研究では主G束を持ったn次元リーマン多様体とその上のヤン・ミルズ接続の組からなる集合を考え、底空間のリッチ曲率の下限と直径の上限、さらにヤン・ミルズ接続の曲率形式の大きさの上限が与えられた状況で、接続ラプラシアンの第j固有値の一様な下からの評価を得ることが出来た。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
2017年度までの研究において、リーマン多様体上の主G束とその上のG接続から誘導される主G束の全空間上のG不変リーマン計量を考えることによって、この計量に関するラプラシアンと接続ラプラシアンの対応関係を記述した。2018年度は、主G束の全空間とG不変リーマン計量の組をG作用付き測度距離空間とみなして、G作用付き測度距離空間全体のなす空間のG同変版グロモフ・ハウスドルフ位相を導入することを考えた。その結果、深谷-山口によって導入された位相の特殊な場合として本研究に応用できることが分かった。この位相のもとで、ラプラシアンの固有空間のG既約表現空間のふるまいを研究したところ、桑江-塩谷によるスペクトル構造の収束理論を用いることによって、ラプラシアンの固有値の収束を証明することが出来た。さらに、主束上のG不変計量のリッチ曲率を計算した結果、底空間のリッチ曲率とG接続の曲率形式を用いて表されることがわかった。一般に、リッチ曲率が下に有界かつ直径が上に有界なコンパクトリーマン多様体の族は、グロモフ・ハウスドルフ位相に関して相対コンパクトであることが知られている。この事とリッチ曲率の計算から、ヤン・ミルズ接続を持つリッチ曲率が下に有界で直径が上に有界なリーマン多様体と主G束の組からなる族では、主束の曲率形式が一様に有界であればG同変版グロモフ・ハウスドルフ位相に関して相対コンパクトであることを証明した。その帰結として、これらの族に対する接続ラプラシアンの第j固有値の一様評価を得ることが出来た。以上のように、主G束を持つ多様体の族の位相に対する接続ラプラシアンの挙動を明らかにできたため、研究は概ね順調に進展したと言える。
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| 今後の研究の推進方策 |
2018年度までの研究で、一般の主G束に対する収束と、その極限として現れる構造の研究が進展した。今後は、この一般論をもう少し具体的な状況に適用する。具体的には、ケーラー多様体とその上の豊富な正則直線束の組に対して適用する。このとき直線束上には曲率がケーラー形式となるような自然なエルミート計量が入り、それによって枠束として主S^1束が誘導される。そのうえでエルミート接続と底空間のケーラー計量を尊重するようなS^1不変リーマン計量を考えると、それは佐々木多様体と呼ばれる研究対象となる。従って、ケーラー多様体上の豊富な正則直線束上のラプラシアンの固有切断は、対応する佐々木多様体上のS^1同変な複素数値固有関数と見なすことができる。これによって、正則直線束に対するラプラシアンの固有値や固有切断の振る舞いを研究することが可能になる。特に、固有値がある特別な値に一致するとき、その固有切断は正則切断である。従って、複素構造を変形させたときの正則切断の振る舞いを研究することが出来るので、今後は複素幾何学や幾何学的量子化への応用を研究する。
正のリッチ曲率を持つケーラー・アインシュタイン計量の存在問題では、DonaldsonとSunによる射影代数多様体のグロモフ・ハウスドルフ極限に関する研究が重要な役割を果たした。彼らの結果では、リッチ曲率が上下から押さえられ、かつ非崩壊で直径が上に有界な状況で、直線束の正則切断の挙動を研究している。本研究ではリッチ曲率の上からの有界性や非崩壊の仮定をせずに複素構造の極限を考えることが可能なので、それによってケーラー幾何の研究に新たな視点を持ち込むことが期待できる。
また、前量子化束を持ったシンプレクティック多様体上で、シンプレクティック形式と整合する複素構造に対する正則切断の振る舞いを研究する幾何学的量子化への応用が期待できる。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
本研究によって得られた、主束の収束と接続ラプラシアンの固有値の収束との関係を幾何学的量子化の問題へ応用するために、この分野の専門家であり、現在カナダのマクマスター大学に長期滞在中の吉田尚彦氏と研究議論をするための旅費を確保していた。しかし年度末に幾何学的量子化への応用に関する予想以上の研究上の進展があり、その進展をまとめてから議論に臨んだ方がより効果的な議論が期待できると判断した。その結果、2018年度内のカナダへの出張は見送ったため、未使用額が生じた。これまでに得られた結果をまとめ、2019年度中にマクマスター大学に出張し、吉田氏と研究議論をする予定である。また、そのほかにも研究討論や研究成果発表のために国内外の研究集会へ参加する予定であり、そのための旅費を使用する。また最新の情報を得るために、書籍の購入など物品費を使用する予定である。
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