| 研究課題/領域番号 |
16K17599
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| 研究機関 | 工学院大学 |
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研究代表者 |
菊田 伸 工学院大学, 教育推進機構(公私立大学の部局等), 准教授 (40736790)
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| 研究期間 (年度) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| キーワード | ジーゲルモジュラー多様体 / トロイダルコンパクト化 / ベルグマン核の体積増大度 / ベルグマン計量の境界挙動 / ヴェイユ・ピーターソン計量 / 一般化ケーラー・アインシュタイン計量 / 中間小平次元 / 飯高ファイブレーション |
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| 研究実績の概要 |
対数的標準束が代数幾何的な正値性を満たす滑らかな準射影代数多様体上には, 負のリッチ曲率を持つ概完備ケーラー・アインシュタイン計量が存在することが板東, Tian-Yau, 小林亮一氏らによって示された. この正値性の境界上での退化が与える, 計量の大域的な体積増大度および境界挙動への影響は続けて考えるべき自然な問題であるが, 前年度までにそれに答えを与える予想を考えついた. 一つは「境界の小平次元が体積形式の冪に現れる」, 二つ目は「境界に平行な方向での計量の極限(留数と呼ばれる)にはヴェイユ・ピーターソン計量(または一般化ケーラー・アインシュタイン計量)が現れる」である.
境界の小平次元が最大または最小である場合, つまり境界がそれぞれ一般型またはカラビ・ヤオである場合では, 前年度までにその予想が正しいことを示す結果をいくつか得ている.
今年度は中間の小平次元の場合でも, 我々の予想が正しいことをサポートする具体例を見つけることができた. それはジーゲルモジュラー多様体のトロイダルコンパクト化とその上のベルグマン核および計量である. 実際に確かめられたのは, 主合同部分群の商として得られる低次元のジーゲルモジュラー多様体に対する, 中心錐分解によるトロイダルコンパクト化の場合で, そして上述の一つ目の予想のみである. この場合はW. Wangによって, 我々の予想とは別の問題意識から, ベルグマン核および計量の境界挙動が具体的に計算されている. そこで私は, そのトロイダルコンパクト化の構成とその核および計量の表記を詳しく調べ, 一つ目の予想を解決する形になっていることを発見した.
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
対数的標準束の代数幾何的な正値性の境界に沿った退化と, ケーラー・アインシュタイン計量の境界での挙動との関係を決定することが, 本研究の目的の一つである. その退化度を示す指標として一般化ケーラー・アインシュタイン計量および小平次元がある. ケーラー・アインシュタイン計量の境界に沿った留数およびその体積増大度とそれらの関係について, 上述の二つの予想を解決することを目標に今年度まで集中して研究を行ってきた.
平成28年度には, 小平次元が最大の時にこの予想の二つが共に正しいことを確認した.
平成29・30年度には, 小平次元が最小の場合に取り組み, 予想通りの体積増大度を持つことを確認した. また特に境界がアーベル多様体の有限商である場合は, 境界の近くで計量をある適切なオーダーで拡大して留数を計算すると, リッチ平坦計量が現れることまで示すことができた.
今年度はまず, 二つの予想が中間小平次元の場合に一般的に成り立つかを, ケーラー・リッチ流との類似性の観点からTosatti-Weinkove-Yangの結果を参考に考察したが, 成果を上げることができなかった. 一方で, 具体的な例として, ジーゲルモジュラー多様体のトロイダルコンパクト化が我々の条件を満たしていることを知った. その中で低次元で, かつ算術群が主合同群という特殊な場合に, W. Wangによって得られているベルグマン核の具体的表示を調べた. しかし, その表示に用いられているトロイダルコンパクト化の構成に現れる組み合わせ的な情報が, 想定していたより遥かに複雑であり, その理解に大幅に時間がかかってしまった. 結果的にはW. Wangの表示は我々の予想の体積増大を示していることを確認するに止まり, 留数に関しては考察できなかった.
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| 今後の研究の推進方策 |
まずは上述のW. Wangが考えている特殊な状況で, ジーゲルモジュラー多様体のトロイダルコンパクトに対してベルグマン核と計量の境界挙動を引き続き考察する. 特にトロイダルコンパクト化を与える扇の組み合わせ的な情報を用いて詳細に記述することで, 留数に関しての上述の予想が成り立つかどうかを調査する. もし成り立てば, 中間小平次元の場合に予想が成立する初めての具体例になる. ここまでの成果は小平次元が最小である場合の成果などと合わせて論文にまとめ, 投稿する予定である. 更にその続きとして一般算術群での商として現れるジーゲルモジュラー多様体の一般のトロイダルコンパクト化について同様のことを考察する予定である. この時はYau-Zhangによって, ベルグマン核の境界近くでの表示が, 複雑ではあるがある程度具体的に扇の組み合わせ的な情報を用いて計算されている. この結果を参照して, 我々の予想が正しいかを調べる, つまり留数とヴェイユ・ピーターソン計量との明確な関係や体積増大度を決定したいと考えている.
また境界が中間の小平次元を持つ一般の準射影代数多様体に対しても, ケーラー・アインシュタイン計量の体積増大度が予想したものになるかを明らかにする. 境界の飯高ファイブレーションのファイバーがトーラスではない時は, 計量は有限幾何ではないので,対応する複素モンジュ・アンペール方程式の解析は一般論が通用しない. 一方で, 我々の境界漸近挙動と, ケーラー・リッチ流の時間無限大の挙動に類似性があることが, 現象として観測されている. そこで, ケーラー・リッチ流の時間無限大における解の低階での評価が成功しているTosatti-Weinkove-YangとTosatti-Zhangの技法の中から, 我々の設定でも有効なものを見つけ出したい.
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| 次年度使用額が生じた理由 |
今年度の研究目標達成には, ジーゲルモジュラー多様体のトロイダルコンパクト化の構成と計量の性質を把握することが重要な課題であった. しかし, それらが非常に複雑で, 正確に理解するのに想像以上の時間を費やさざるをえなかったため, 関連参考図書・文献を購入することが予算の主な使用用途となった. またこの内容に関連する講演が含まれるセミナーや研究集会などもあまり頻繁には行われず, 私の講演のための出張以外には, 研究情報の収集目的の出張旅費として使用することは多くはなかった. 従って, 当初の計画していた予算を使い切ることができなかった.
次年度の使用計画として, まずこれまでに得た成果を発表するため, 講演出張の際の旅費や講演するための機材の購入, そして論文作成や参考文献を調べるために使用するPCやその周辺機器の購入などとして予算を執行する. また研究目標達成のために, 関連する内容の研究集会・セミナーに積極的に参加し, 複素モンジュ・アンペール方程式とケーラー・リッチ流の解析の手法や, ジーゲルモジュラー多様体に関連する複素幾何の最先端の研究を学んだり, 国内外の専門家の方々と意見を交換する予定である.
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