| 研究実績の概要 |
準射影代数多様体上において, 負のリッチ曲率を持つ概完備ケーラー・アインシュタイン計量の境界挙動を考察した. その存在は, 板東, Tian-Yau, 小林亮一氏らによって, 対数的標準束の代数幾何的な正値性と密接に関係していることが見出された. しかし, 計量の大域的な体積増大度および境界挙動への正値性の境界上での退化による影響を, 完全な形では捉えられていない.
この課題に対する境界の小平次元が最大・最小の場合の考察を足がかりに, 次の2つの関係を証明する目論見を立てた.
(1) 境界の小平次元が体積形式内の冪と一致する
(2) 境界に平行な方向に沿った計量の極限(留数)には一般化ケーラー・アインシュタイン計量が現れる
中間小平次元の場合にこれらをサポートするため, 今年度はその具体例であるジーゲルモジュラー多様体のトロイダルコンパクト化において計量の性質を調査した. 計量とはジーゲル上半平面から誘導されたベルグマン計量であり, 境界の近傍で明示的に体積形式を表記できる可能性が十分にある. 一般的にはW. Wang, Yau-Zhang, 対馬らによって我々とは別目的で具体的に計算されているが, 不十分な点もあった.
そこで議論を推し進め, 主合同部分群による2次元ジーゲルモジュラー多様体に対する, (井草, Legendreらによる)中心錐分解で定まるトロイダルコンパクト化において, 境界因子の計量など表現を更に明確にした. そしてその結果, (1), (2)の両方を確かめることができた. ただしこの場合は, 境界因子が単純交差しており, もともと想定していた状況よりも複雑だったため, 対数的な状況に拡張して考える必要があった. 例えば, 境界成分は楕円モジュラー曲面であり, 一般化ケーラー・アインシュタイン計量は底空間であるモジュラー曲線上のポアンカレ計量に取り替えた.
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