| 研究実績の概要 |
2つの(ファイバーの種数が等しい)Lefshetz fibrationから新たなLefschetz fibrationを構成する基本的な方法として, ファイバー和という操作が知られている. Stipsictzは次の２つの予想をしている:(1) ファイバー和分解不可能なLefschetz fibrationは(-1)-切断を持つ. つまり, ファイバー和分解不可能なLefschetz fibrationはLefschetz pencilのbase pointをblow upして得られる.(2) Lefschetz fibrationの全空間が非極小であれば, ファイバー和分解不可能である.
(1)の予想は, ファイバーの種数が2,3のとき, 反例が構成されている. 申請者はマサチューセッツ大学のBaykur氏, 慶応義塾大学の早野氏との共同研究により, ファイバーの種数が3以上であれば, (1)の反例が存在することを示した. また, これらの例の構成途中で, 全空間がsymplectic Calabi-Yau多様体(特にsymplectic K3曲面)であるLefschetz fibrationを構成している. (2)の予想は,肯定的に証明されている. 申請者は, ミネソタ大学のAkhmedov氏との共同研究で, この逆が成り立たない, すなわち, ファイバー和として分解できない(ファイバーの種数が2の)Lefschetz fibrationで全空間が極小である例が存在することを示した. これらの2つの結果はLefschetz fibarationのファイバー和分解についての既約性に関する結果である.
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| 今後の研究の推進方策 |
上述の結果は予想(あるいは予想の逆)のLefschetz fibrationの反例が(ファイバーの種数を固定すると)有限個存在することを示したというものである. そこで, そのような反例を無限個構成することを目指す. 推進方策は, これまでと同様に写像類群の様々な関係子の置き換え操作を駆使し, 写像類群の新しい関係子構成することである.
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