写像類群による4次元トポロジーの地誌学と手術の研究

2019 年度 実施状況報告書

• 研究課題/領域番号: 16K17601
• 研究機関: 岡山大学
• 研究代表者: 門田 直之 岡山大学, 自然科学研究科, 准教授 (60611986)
• 研究期間 (年度): 2016-04-01 – 2021-03-31
• キーワード: Lefschetz fibration / 有限表示群

研究実績の概要

本研究の目的は, 4次元シンプレクティック多様体やLefschetz fibration全体の振舞いを調べることである. シンプレクティック構造は, 偶数次元の多様体に対し定義され, 複素構造に似て非常にきれいな構造である. Lefschetz fibrationとは“有限個のある型の特異ファイバーをもつ曲面上の曲面束”のようなものである.
任意の有限表示群に対し, その群を基本群にもつような4次元シンプレクティック多様体やLefschetz fibrationはこれまでにいくつか構成されていた. 一方, Noether lineの下の領域に任意の有限表示群を基本群にもつ4次元シンプレクティック多様体は構成されていたが, Lefschetz fibrationについてはいまだ見つかっていなかった. これまでに, 申請者は, 単連結で, 全空間が極小であり, Noether lineの下の領域にある多様体について, Lefschetz fibartionの構造が入る例を構成した.
上述の背景のもとで, 申請者は, 申請者の結果の一般化として, 任意の有限表示群を基本群にもち, 全空間が極小であり, Noether lineの下の領域にある多様体について, Lefschetz fibrationの構造が入る例を構成した. 特に, Noether lineの下の領域にある多様体は複素多様体ではないため, 得られたLefschetz fibrationは非正則であることがわかる. Lefschetz fibrationと写像類群の文字列である条件を満たすものが対応する. 申請者は, 与えたLefschetz fibrationにおいても対応する写像類群の文字列を具体的に与えている.

現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

上述の研究は, 申請書に計画していた内容の1つである. それが実行できたため、おおむね順調に進展しているとした.

今後の研究の推進方策

今度はLefschetz fibrationの構造が入らない4次元シンプレクティック多様体の例を構成したい. 特にファイバーの種数を固定したLefschetz fibrationの構造が入らない例の構成を目指す. まずはrational surfaceやruled surfaceなどの基本的な多様体について, 調べていきたい.

次年度使用額が生じた理由

共同研究者との研究打ち合わせのためにアメリカ出張を考えていたが, 共同研究者の事情のためキャンセルとなった. そこで, 国内出張に切り替え, いつくかの研究集会に参加する.

研究成果

• [雑誌論文] Nonholomorphic Lefschetz fibrations with(-1)-sections (2019)
  • 著者名/発表者名: Hamada Noriyuki、Kobayashi Ryoma、Monden Naoyuki
  • 雑誌名: Pacific Journal of Mathematics 巻: 298 ページ: 375～398
  • DOI: 10.2140/pjm.2019.298.375
  • 査読あり / 国際共著
• [雑誌論文] Signatures of surface bundles and scl of a Dehn twist (2019)
  • 著者名/発表者名: Monden Naoyuki
  • 雑誌名: Journal of the London Mathematical Society 巻: 100 ページ: 957～986
  • DOI: https://doi.org/10.1112/jlms.12247
  • 査読あり