| 研究実績の概要 |
非退化閉2次形式を持つ4次元多様体をシンプレクティック4次元多様体といい, ファイバーと底空間が有向閉曲面で有限個のある特異ファイバーを持つファイバー束のようなものをレフシェッツ束空間という. 4次元多様体において, シンプレクティック構造とレフシェッツ束空間の構造はほとんど同値であることが知られている. 申請者はシンプレクティック4次元多様体に入るレフシェッツ束空間の構造について調べている.
線織面は複素曲面としてもっとも単純で一般的なものであり, シンプレクティック構造をもつことが知られている. 線織面を用いて様々な多様体の例が構成されてきた経緯もあり, 4次元トポロジーにおける重要な多様体でもある. このようなことから, 線織面にレフシェッツ束空間の構造が入るかどうか, 入るとしたらファイバーや線織面の種数やblow-upの回数はどのような値を取りうるか, ということは重要な問題である.
最終年度では, 線織面にレフシェッツ束空間の構造が入るときの, レフシェッツ束空間のファイバーの種数, 線織面の種数とblow-upの回数の関係について結果を得た. 具体的に述べると, 種数hの線織面のm回blow-upが種数2g+h-1のレフシェッツ束空間の構造を持つことの必要十分条件は, m=4nであることである(ただし, h>nという条件を仮定しておく). なお, この研究はミネソタ大学のAnar Akhmedov氏との共同研究に基づく. この結果を応用し, レフシェッツ束空間の新たな例の構成を目指している.
|
