| 研究実績の概要 |
kを実数とするとき, CAT(k)空間とは, 大雑把にいうと「曲率がk以下の距離空間」のことであり, 広く研究されている. 距離空間がCAT(k)空間へ等長埋め込み可能であることを特徴づけることは基本的な未解決問題である. この問題に対する部分的な結果として, 2019年度までに本研究を通じて「高々5点からなる距離空間がCAT(0)空間へ等長埋め込み可能となるための必要十分条件は重み付き4点不等式を満たすことである」という結果を得ていた. 2020年度は, この結果を論文にまとめ, 投稿を行った. また, 距離空間が, CAT(k)空間へ等長埋め込み可能となるための必要条件として, M. Gromovによって導入された「Cycl_n(k)条件」（nは4以上の整数）に関する研究を行った. これらの条件のうちCycl_4(k)条件は最もシンプルな条件といえるが, 測地的という条件を仮定すると, CAT(k)であることと同値となる. 一方, Cycl_4(k)条件を満たす測地的でない距離空間については, それらがどのようなものなのかよくわかっていない. この問題に関して, Gromovは論文中で, 「測地的とは限らない距離空間に対しては, Cycl_4(k)条件はCycl_n(k)条件を導かないだろう」という意味の言及をしていた. 2019年度までに本研究では, k=0の場合は, 実は「Cycl_4(0)条件はCycl_n(0)条件を導く」という結果を得ていた. 2020年度は, この内容を論文にまとめ, インターネット上で公開をした. さらに, その後, この結果を任意の実数kに対して一般化することに成功した. その結果, 上記のGromovによる言及に反して, 任意のの実数kに対して「Cycl_4(k)条件はCycl_n(k)条件を導く」ことがわかった.
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