| 研究成果の概要 |
本研究では, 「CAT(k)空間へ等長埋め込み可能な距離空間を特徴付けよ」という未解決問題に対する部分的な結果として, 高々5点からなる距離空間がCAT(0)空間へ等長埋め込み可能であることは, その距離空間上で「重み付き4点不等式」が成立することと同値であることを証明した. さらに, M. Gromovが導入したCycl_n(k)条件という, 距離空間がCAT(k)空間へ等長埋め込み可能であるための必要条件に対して, 「Cycl_4(k)条件は4以上の任意の整数nに対するCycl_n(k)条件を導く」ということを証明した.
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| 研究成果の学術的意義や社会的意義 |
さまざまな距離空間上でどのような不等式が成立するかということが, 広く重要な課題となっている. 本研究では, CAT(k)空間 (誤解を恐れず簡単に言うならば, 曲率がk以下の距離空間) において成立する不等式について研究を行った. その結果, 5点からなる距離空間がCAT(0)空間へ等長埋め込み可能であることは, その距離空間上で重み付き4点不等式と呼ばれる不等式が成立することと同値であることを証明した. これは, 「CAT(0)空間へ等長埋め込み可能な距離空間を特徴づけよ」という未解決問題に対する部分的結果を与えるものといえる.
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