| 研究実績の概要 |
今年度は非コンパクト型エルミート対称空間内の等質ラグランジュ部分多様体に関する研究を主として行った. 本研究の目的は非コンパクト型エルミート対称空間内の等質ラグランジュ部分多様体の構成及び分類, また幾何学的な性質を調べることである.
(1)非コンパクト型エルミート対称空間内の岩澤分解の可解部分の部分群作用で, 非コンパクト等質ラグランジュ部分多様体を許容する群作用の族を構成した. またいくつかの古典型の非コンパクト型エルミート対称空間に対して, それらの岩澤分解の可解部分をすべて含むようなリー群を構成した. それによってある程度統一的に等質ラグランジュ部分多様体の幾何学的な性質, 分類問題に取り組むことが可能になると期待している.
(2)複素双曲空間内の放物型部分群の部分群作用から得られる非コンパクト等質ラグランジュ部分多様体の研究を行った. とくに複素双曲空間の次元が低い場合に, 原点軌道がラグランジュ部分多様体となる群作用を分類した.
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| 今後の研究の推進方策 |
岩澤分解の可解部分の部分群作用から得られる等質ラグランジュ部分多様体について, 群作用および各作用から得られる等質ラグランジュ部分多様体の分類に取り組む. まずはすべての非コンパクト型エルミート対称空間の岩澤分解の可解部分を含むようなリー群を構成し, そのリー群の構造を用いて分類問題に取り組む.
放物型部分群の部分群作用から得られる等質ラグランジュ部分多様体の研究については, まずは複素双曲空間の場合に研究を進める. 低次元の場合には原点軌道がラグランジュ軌道となる群作用は得られているが, 各作用に対して原点軌道以外の軌道についてはわかっていない. 今後は運動量写像等を用いて, どれくらいラグランジュ軌道が存在するか調べる. また作用の分類問題に関しては,低次元の場合に用いた手法を高次元の場合に適用することは困難であるため, 良い解決策を考える必要がある.
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