| 研究課題/領域番号 |
16K17605
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| 研究機関 | 都城工業高等専門学校 |
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研究代表者 |
本田 淳史 都城工業高等専門学校, 一般科目理科, 講師 (90708611)
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| 研究期間 (年度) |
2016-04-01 – 2019-03-31
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| キーワード | 波面 / カスプ辺 / ツバメの尾 / カスプ状交差帽子 / 交差帽子 / Kossowski計量 / Whitney計量 / 連接接束 |
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| 研究実績の概要 |
本研究では，半正定値計量の特異点の実現問題，特異点を許容する空間型の間の等長はめ込みの分類の2つの課題について研究を行った．
半正定値計量の特異点の実現問題について，研究代表者は長谷川大氏，直川耕祐氏，佐治健太郎氏，梅原雅顕氏，山田光太郎氏との以前の共同研究で，Kossowski計量とWhitney計量を導入していた．ここで，Kossowski計量，Whitney計量はそれぞれ波面，交差帽子写像の第一基本形式をモデルとした半正定値計量のクラスである．本研究では，直川耕祐氏，梅原雅顕氏，山田光太郎氏との共同研究で，任意に与えられた実解析的なKossowski計量を第一基本形式に持つような3次元ユークリッド空間のフロンタルが存在することを示した．また，その応用として，極限法曲率が消えないようなカスプ辺，カスプ状交差帽子の等長変形のモジュライ空間を決定した．
特異点を許容する空間型の間の等長はめ込みの分類については，村田-梅原による3次元ユークリッド空間の完備な平坦波面の分類や4頂点型定理の高次元化を目標として研究を行った．そこで，研究代表者の以前の研究結果で得られた空間形タイプの連接接束の等長実現条件に関する補題を用いることで，完備かつ平坦なn次元連接接束の(n+1)次元ユークリッド空間への波面としての等長実現は，特異点を許容せず柱面に限ることを示した (ただしnは3以上の整数)．ここで連接接束とは特異点を許容するリーマン多様体の一般化にあたる概念である．これにより，同じ非負の断面曲率を持つ空間型の間の波面としての等長はめ込みの分類を与えたことになる．この内容について論文執筆中である．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
半正定値計量の特異点の実現問題については，Whitney計量の実現問題に関してべき級数解の収束において進展はないが，Kossowski計量の等長実現定理を得ることができ，カスプ状交差帽子などのカスプ辺やツバメの尾以外の特異点について等長変形定理を得ることができた．また，特異点を許容する空間型の間の等長はめ込みの分類については，高次元の完備な平坦波面の分類ができた．今後の波面としての等長はめ込みの分類問題に指針を与えるような結果である．そのため，順調に進展していると思われる．
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| 今後の研究の推進方策 |
上記の成果をふまえ，半正定値計量の特異点の実現問題については，Whitney計量の実現問題に関してブローアップしてCauchy-Kowalevskiの定理を適用する方針での研究を進める．さらに，28年度に得られたKossowski計量の等長実現定理を適用し，ランフォイドカスプ辺などの退化した特異点の等長変形のモジュライ空間の決定を目指す．また，特異点を許容する空間型の間の等長はめ込みの分類については，高次元の完備な平坦波面の分類に関する論文を完成させる．さらに，複素の場合の平坦波面の分類を目指す．
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