| 研究課題/領域番号 |
16K17612
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| 研究機関 | 信州大学 |
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研究代表者 |
佐々木 格 信州大学, 学術研究院理学系, 准教授 (50558161)
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| 研究期間 (年度) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| キーワード | スペクトル解析 / 基底状態 / 量子場 / 相対論的量子力学 / 埋蔵固有値 |
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| 研究実績の概要 |
(1)シュレディンガー作用素が遠方で減衰するポテンシャルを持つ場合に，正の固有値が存在することを示したvon Neumann-Wignerの結果を相対論的シュレディンガー作用素に一般化した。この結果は空間の次元が１次元と3次元で，粒子が正の質量を持つ場合に成立する。
(2)正の固有値を持つシュレディンガー作用素の別の例としてMoses-Tuanのポテンシャルがあるが，Moses-Tuenの例も相対論的シュレディンガー作用素に対して一般化することに成功した。Moses-Tuanのポテンシャルは3回までしか微分できないので，(1)の場合より精密な評価が必要であった。
(3)粒子の質量が0である場合の相対論的シュレディンガー作用素に対しては，それがゼロ固有値を持つようなポテンシャルの例を超幾何関数を使って構成した。ポテンシャルはパラメーターνを持っており，νの値に応じて，ゼロ固有値が現れたりそれが消えて零エネルギー共鳴極になることが示された。
(4)Moeller氏(Aarhus大)，廣川氏(広島大)と連携して，場の2次の相互作用を入れたRabiモデルを解析し，基底状態エネルギーの評価を与えた。
(5)日高氏，廣島氏(九州大)と連携して，質量を持たない相対論的粒子が量子電磁場と相互作用する系の解析を行い，基底状態が存在するための条件を与えた。
(6)鈴木氏(信州大)と連携して，グラフ上の離散ラプラシアンのスペクトル解析を行った。グラフの摂動の概念を導入し，真性スペクトルが変わらないための十分条件を与えた。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
研究実績の概要に書いてあるように，いくつかの新しい結果を得ることができ，また以前得られていた結果を整理し改良することができた。研究実績の概要にある(1)-(3)及び(4),(6)の結果は，国際的な査読付き論文に掲載（または掲載予定）されており，(5)の結果はアーカイブから閲覧することが可能で，現在査読付き雑誌に投稿中である。
これらのことから研究はおおむね順調に進展していると考えている。
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| 今後の研究の推進方策 |
(1)予定していた多体の相対論的フェルミオンと量子電磁場が相互作用する系の基底状態エネルギーの評価を行う。非相対論的なフェルミオンに対しては，具体的な評価が得られているのだが，相対論的な場合は直接計算することができず，不等式で評価しなければならないが，絶対値を取るとフェルミオンの性質である反対称性を使うことができない。これを解決するアイディアは現在知られていないのだが，多体のシュレディンガー作用素の結果で使えるアイディアがすでに発見されていないかを探す。
(2)もうひとつの問題は場の2次の相互作用を持つモデルの繰り込みである。平成28年度にBogoliubov変換について情報収集などの準備をしておいたので，平成29年度はBogoliubov変換を用いた具体的な評価にとりかかる予定である。まずは，基底状態の上界，下界を導出し，繰り込み項の値を予想する。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
当初計画で見込んだよりも安価に研究を遂行できたため，わずかに次年度使用額が生じた。
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| 次年度使用額の使用計画 |
平成29年度請求額と合わせて，旅費または物品費用として利用する。
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